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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 162
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. August, 2006 - 21:31: | 
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Hallo,
Zu folgender Aufgabe hab ich zwar einen Ansatz 8und deine rechnug), aber bin mir unsicher, ob es der richtige Lösungsweg ist.
wäre nett, wenn jemand mein Ansatz nachrechnen könnte
Man soll eine Gerade k bestimmen, die den Punkt P(6;6;2) enthält und sowohl die Geraden h und g mit
h:x= (-5;-4;4) + s*(2;-2;1) und
g:x= (-20;-10;4) +t*(14;-2;-5) enthält.
Da g und h windschief sind, hab ich erst den Abstand zweier beliebiger Punkte A und B auf g und h bestimmt.
A auf h (-3+2s; -4-2s; 4+s)
B auf g (-20+14t; -10-2t; 4-5t)
AB = ( -15 +14t -2s; -6-2t +2s; -5t-s)
Es gilt: Richtungsvektor AB ist orthogonal jeweils zum Richtungsvektor von h und g
--> LGS aufstellen
-9 27 | 18
-27 225 | 198
--> s,t=1 und in g:x und h:x einsetzen
A( -3;-6;5) B(-6;-12;-1)
Jetzt müsste ich rein theoretisch nur noch
die Geradengleichung aufstellen:
AB:x = (-3;-6;5) + r*(-3;-6;-6)
da der Punkt P(6;6;2) enthalten sein soll,
hätte ich dann
k:x= (6;6;2) +r*(1;2;2)
Wäre das eine Lösungsmöglichkeit?
Vielen Dank im Voraus,
K.  |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 156
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2006 - 06:06: |
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Hi, K,
Du schreibst:
"Man soll eine Gerade k bestimmen, die den Punkt P enthält und sowohl die Geraden h und g enthält."
Bei dieser Angabe kann etwas nicht stimmen!
liebe Grüße
elsa |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3140
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2006 - 07:45: |
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@W:
Bestimme doch die Geradenschar die durch
g und h gegeben ist
und dann s,t so, dass P auf einer Schargeraden
liegt.
(
G,H seien die Punkte der Schargeraden gs auf g,h,
damit P auf gs liegt muss der Richtungsveketor
von GP mit dem von PH Übereinstimmen
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 163
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2006 - 08:22: |
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Erst mal danke fürs feedback
@Elsa: Ist schon klar, hab mich vertippt
@Friedrichlaher: Wie bestimme ich aber die Schargerade gs aug g, h?
Wenn ich G und H habe und G und H seien Punkte von gs, dann hätte ich:
G(-5 +s, -4 -2s; 4+s ) P(6;6;2)
H(-20+14t; -10-2t; 4-5t)
Bloß wie bestimme ich jetzt die Schargerade gs?
Muß ich da so vorgehen, wie in meinem Ansatz--> Richtungsvektor GH bestimmen und dann LGS aufstellen und lösen?
Vielen Dank,
K. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3141
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2006 - 08:39: |
|
JA
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1834
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2006 - 10:39: |
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Hi,
die Angabe soll wohl heissen:
Man soll eine Gerade k bestimmen, die den Punkt P(6;6;2) enthält und sowohl die Geraden h und g ....
schneidet.
Denn eine Gerade kann nicht zwei andere Gerade enthalten, es sei denn, alle drei wären identisch.
Ausserdem liegt ein Schreibfehler vor, richtig wäre
...
A auf h (-5+2s; -4-2s; 4+s)
Und du hast nicht den Abstand der beiden Punkte AB bestimmt, sondern deren Vektor, welcher jeweils zu den beiden Richtungsvektoren der Geraden senkrecht steht.
So weit so gut (aber nicht zielführend, wie später zu erkennen ist).
Nun, die Gerade AB, die du aufgestellt hast, ist daher das Gemeinlot der beiden gegebenen Geraden (AB ist deren kürzester Abstand).
Da dieses noch nicht durch den Punkt P geht, hast du es durch P parallel verschoben (P ist Anfangspunkt, Richtungsvektor ist gleich). Hiermit schneidet es jedoch nicht mehr die beiden Geraden, und da es jetzt weder durch A noch durch B geht, kann dieses Vorgehen schlichtweg nicht die Lösung sein.
Also zurück an den Start.
Nun, so einfach (wie bei Friedrich?) ist es wiederum nicht. Eine Schargerade aus zwei windschiefen Geraden führt hier IMHO nicht zum gewünschten Ergebnis.
Beim Lösen irgendwelcher LGS sollte man doch immer vor Augen haben, was da eigentlich abläuft und welche Bedingungen für welche Variablen herrschen.
Wir können folgenden Lösungsweg andenken:
Den Richtungsvektor der gesuchten Geraden k, welcher bis auf seine Länge bestimmt ist, bezeichnen wir mit (a;b;1). Für die dritte Komponente können wir oBdA deswegen 1 setzen, weil es nur auf die Richtung ankommt und die Länge beliebig ist.
Dann ist
k: x = (6;6;2) + r*(a;b;1)
Die Gerade k muss nun jeweils mit den anderne beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen. Somit folgen die zwei Systeme:
6 + r*a = -5 + 2s
6 + r*b = -4 - 2s
2 + r = 4 + s
-------------------
6 + r*a = -20 + 14t
6 + r*b = -10 - 2t
2 + r = -4 - 5t
-------------------
Aus dem ersten System eliminieren wir r und s, beim zweiten r und t und erhalten somit zwei Gleichungen in a,b
Beispielweise folgt aus dem ersten:
...
21 = r*(a + b)
6 = r*(b + 2)
---------------
...
1.: 3a - 4b = 14
analog gehen wir beim zweiten System vor, und wir haben nun den Richtungsvektor und damit die gesuchte Gerade k ermittelt!
P.S.: Den Richtungsvektor (a;b;1) kann man dann (nach Ermittlung von a,b) noch entsprechend verlängern, damit dessen Komponenten ganzzahlig werden.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 01., September. 2006 von mythos2002 editiert) |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 164
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2006 - 16:52: |
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@Mythos: Vielen Dank!
(Sorry, wegen der etwas konfusen Aufgabenstellung)
Hab jetzt deinen Ansatz nachvollzogen und komm auf das Ergebnis
"Nun, die Gerade AB, die du aufgestellt hast, ist daher das Gemeinlot der beiden gegebenen Geraden (AB ist deren kürzester Abstand). "
Gut, dass war mir klar.
Ich bin davon ausgegangen, dass das Gemeinlot von den Geraden g und h gleichzeitig auch Richtungsvektor der gesuchten Geraden k ist.
Jedoch musste ich auch bei der Probe feststellen, dass dies nicht richtig sein kann.
Bei der vorgeschlagenen methode von friedrich (mit einer Geradenschar) tritt das problem auf, dass das LGS keinen "eindeutigen" Wert für den Parameter liefert, d.h. unlösbar ist.
Rein theoretisch, man würde die Gerade AB alas Normaleneinheitsvektor (Vektor mit Länge 1) normieren und diesen dann als Richtungsvektor für die gesuchte Gerade k verwenden. 
Könnte man das Probelem auch so angehen?
Nochmals vielen Dank,
Gruß, K.
P.S. Bin noch am rechnen.Wenn ich Ergebnisse zu meinem neuen Ansatz hab, poste ich die in den Thread. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1835
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2006 - 01:33: |
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Hi,
ob du den Richtungsvektor als (a;b;1) oder (a0;b0;c0;) mit der Länge 1 oder (a;b;c) ansetzst, ändert nichts an dem Lösungsweg. Immer läuft es letztendlich auf ein LGS hinaus, welches zu lösen ist.
Nebenbei, welchen Vorteil soll die Normierung des Richtungsvektors bringen? Er hat ja dann erst recht drei Komponenten, die wie vordem berechnet werden müssen. Im Gegenteil, den Vektor auf die Länge 1 zu zwingen, erschwert das Ganze noch ...
Aber es gibt noch einen - von elsa vorgeschlagenen - gänzlich anderen Lösungsweg, der meiner Meinung nach vielversprechend erscheint, und den du ebenfalls mal versuchen solltest:
Zitat:
Gr
mYthos |
Habac (Habac)
Junior Mitglied
Benutzername: Habac
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 04-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2006 - 05:39: |
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Ich würde die Gleichung der Ebene aufstellen, die P und eine der Geraden enthält, und diese Ebene mit der andern Geraden durchstossen. Dadurch haben wir einen der gesuchten Punkte, der Rest ist einfach.
Gruss! habac |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1836
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2006 - 11:24: |
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@Habac
Ausgezeichnete und verständliche Lösung! Rechnerisch wird's wohl auf die von elsa gezeigte Lösung hinauskommen.
Jetzt schauen wir mal, was K. daraus machen kann ....
Gr
mY+ |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 165
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2006 - 16:46: |
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Nehmen wir mal den Vorschlag von Habac:
E:6x + 15y + 42z = 210 |: 3
E: 2x + 5y + 14 z = 70
E n g:X
t=-2
=> Punkt Q (also der gesuchte Punkt)
Q(-48; -6; 14)
Gerade gk:x= (6;6,2) + r*(-54; -12; 12)
jetzt wäre noch zu prüfen, ob diese Gerade auch h:x und gx:x schneidet.....
So weit erts mal die Methode von habac
Gruss, K
Fortsetzung folgt...... |
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