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Chrissie432 (Chrissie432)
Neues Mitglied
Benutzername: Chrissie432
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2006 - 13:23: | 
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Hallo,
ich komme gerade mit der Ableitungsformel der Umkehrfunktion nicht ganz zurecht, bzw. ich frage mich, wofür man sie überhaupt braucht. Gemeint ist die Formel f~'(y)=1/f'(x) (mit f~ = Umkehrfunktion, kann hier keinen Balken schreiben)
Wenn ich die Umkehrfunktion von f(x)=x^3 ableiten will, dann bilde ich doch einfach die Umkehrfunktion, und leite diese ab.
In meinem Mathebuch (Lamb.S. LK) wird genau diese Aufgabe als Beispiel verwendet, da wird auch zuerst die Umkehrfunktion gebildet, und dann in die Formel eingesetzt, wo ist da der Gewinn, ich kann doch f~(y)=3.te Wurzel y auch direkt ableiten.
Danke
Chrissie |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2051
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2006 - 13:55: |
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Hallo Chrissie
Es könnte ja sein, dass du die Ableitung der Umkehrfunktion nicht kennst.
Vielleicht wurden in eurem Mathebuch erstmal nur die Ableitungen für Funktionen
f(x)=xn mit n aus IN hergeleitet.
Bessere Beispiele als das oben sind aber wohl die Winkelfunktionen oder die Exponentialfunktion.
Nehmen wir z.B. mal den sinus.
f(x)=sin(x).
Wir wollen die Ableitung von g(y)=arcsin(y) bestimmen. Nach deiner Formel gilt(sin(x)=y):
g'(y)=1/f'(x)=1/f'(arcsin(y))
=1/cos(arcsin(y))
=1/sqrt(1-sin2(arcsin(y)))
=1/sqrt(1-y2)
Das ohne deine Formel herauszubekommen ist sicher sehr schwierig. So muss man praktisch nur die Identität sin2(y)+cos2(y)=1 kennen.
Weiteres Beispiel:
f(x)=ex mit Umkehrfunktion g(y)=ln(y).
Mit y=ex erhält man:
g'(y)=1/f'(x)=1/f'(ln(y))=1/eln(y)=1/y
Übrigens muss man die Formel auch gar nicht auswendig lernen. Es reicht, wenn man die Kettenregel kennt:
Ist nämlich f eine Funktion mit Umkehrfunktion g, so gilt
f(g(y))=y
Leitet man beide Seiten nach y ab, so ergibt sich
f'(g(y))*g'(y)=1, also
g'(y)=1/f'(g(y))
MfG
Christian |
Chrissie432 (Chrissie432)
Neues Mitglied
Benutzername: Chrissie432
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2006 - 14:24: |
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Hallo Christian,
danke fÜr die Antwort. Das Beispiel mit dem Sinus leuchtet ein, die Formel ist also hilfreich bei Funktionen, deren Umkehrfunktion sich nicht ohne Weiteres ableiten lÜÜt.
Bei e^x ginge es aber natÜrlich auch wieder direkt...
Das Beispiel im Lambacher-Schweizer ist wirklich etwas unglÜcklich, da sich der Leser nur wundert, wieso man so einen Umweg macht. Immherhin, weiter hinten habe ich inzwischen ein weiteres Beispiel entdeckt, bei dem eine cos-Fkt. behandelt wird. Dort wird dann gezeigt, dass man mit Hilfe der Formel einen konkreten Wert der Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen kann, ohne diese zu kennen.
GrÜÜe
Chrissie |
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