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Generelle Frage zur Lage von...

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Mikrothomas (Mikrothomas)
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Neues Mitglied
Benutzername: Mikrothomas

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juni, 2006 - 18:18:   Beitrag drucken

Ich grüße euch!

Ich habe in knapp eineinhalb Wochen mündliches in Mathe und mich plagt ein eher simpel erscheinendes Problem, das mir beim Lernen aufgefallen ist:
Wenn ich die Lage von Gerade/Gerade, Gerade/Ebene oder Ebene/Ebene untersuche, so ist in ersten beiden Fällen Parallelität vorhanden (bei zwei Geraden eventuell noch windschief, egal...), wenn beim Lösen des LGS ein mathematischer Widerspruch auftritt (z.B. 0=15). Lieg Gerade in Ebene oder Gerade in Gerade, so kommt z.B. 15=15.

Meine Frage: Ich weiß, was das bedeutet, aber wie kommt der Schluss zustande, dass bei 0=15 keine Lösungen für die Parameter existieren? Und bei 15=15: Wieso gibt es da unendlich viele Lösungen?

Ich habe mir versucht das zu erklären, aber stehe irgendwie auf dem Schlauch. Kann mir das jemand erklären oder eine passende Seite geben?

Danke
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 1022
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juni, 2006 - 18:54:   Beitrag drucken

Hallo,

vielleicht kann man das mal ganz unabhängig von deinen konkreten Beispielen erklären.

Wenn du Gleichungen (bzw Gleichungssysteme) löst, dann formst die ursprünglichen Gleichungen so lange um, bis du auf eine dir bekannte Form kommst. Dabei ist aber zu beachten, dass die Aussagen nach jeder Umformung äquivalent bleiben.

Kommst du durch deine Umformungen zu einer falschen Aussage der Form 0=15, dann bedeutet das, dass auch die ursprüngliche (weil äquivalente) Aussage falsch war.
Wenn eine Aussage mit Parametern falsch ist, dann bedeutet das, dass sie für ALLE Parameter falsch ist; sie ist unerfüllbar, es lassen sich keine Parameter finden, die die Gleichung(en) erfüllen.

Andererseits kommt man manchmal zu Aussagen der Form x=x oder 0=0. Das sind wahre Aussagen.
Wegen der Äquivalenz aller Aussagen, die du bei der Umformung durchlaufen hast, ist auch die ursprüngliche Aussage wahr. Da die ursprüngliche Aussage jedoch Parameter enthält, kann sie nur (immer) wahr sein, wenn sie für jeden beliebigen Parametersatz wahr ist. Also ist ihr Wahrgheitsgehalt unabhängig von der Wahl der Parameter, es gibt unendlich viele Lösungen.


Zwei einfache Beispiele:
x = x + 1
ist äquivalent zu
0 = 1.
Da diese Aussage falsch ist, kann auch die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt werden, ist also für alle möglichen Werte falsch.


x = x
ist äquivalent zu
0 = 0,
was wahr ist. Also gilt die ursprüngliche Gleichung für alle x aus dem Definitionsbereich.


Vorsicht bei Ausdrücken wie
x = 2y !!
Auch hier gibt es unendlich viele Lösungen, aber eben nur ganz spezielle. Die Aussage ist aber nicht allgemeingültig (wie 0=0), denn (x,y)=(5,2) löst die Gleichung beispielsweise nicht!


Gruß
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
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Mikrothomas (Mikrothomas)
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Neues Mitglied
Benutzername: Mikrothomas

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2006 - 21:04:   Beitrag drucken

Ja, ich wusste doch, das die Frage eigentlich von einer anderen Seite her betrachtet/beantwortet werden muss...
Herzlichen Dank an dich, Martin 243. Deine Antwort hat das ganz auf einen Schlag geklärt.

cu

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