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Beitrag |
    
Herder (Herder)
Junior Mitglied
Benutzername: Herder
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2006
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. März, 2006 - 16:35: | 
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hi.
wie man auf e = lim (1+1/n)^n kommt weiß ich, doch wie erhalte ich die Darstellung für e^x = lim (1+x/n)^n?
(jeweils für n --> unendlich).
danke schonmal!
(Beitrag nachträglich am 25., März. 2006 von herder editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1780
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 12:10: |
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Der Schlüssel ist die Potenzreihenentwicklung nach dem binomischen Lehrsatz.
e = lim [n -> oo] (1 + 1/n)n = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
ex = lim[n -> oo](1 + x/n)n
(1 + x/n)n = 1 + (n 1)*(x/n) + (n 2)x2*(x2/n2) + (n 3)x3*(x3/n3) + ...
(binomische Formel, (n i) heisst: n über i)
(1 + x/n)n = 1 + x + n*(n-1)*x2/(2!n2) + n2*n*(n-1)*x3/(3!n3) + ...
Die Grenzwerte der einzelnen Summanden sind jeweils 1*xk/k! (k .. laufender Zählindex f.d. Summe), denn die Ausdrücke
[n*(n - 1)(n - 2) ... (n - k + 1)]/nk = (n/n)*((n - 1)/n)*((n - 2)/n)* ... *((n - k + 1)/n) gehen gegen 1
e^x = lim[n -> oo](1 + x/n)n = 1 + x + x2/2! + ...
mY+ |
Toasd (Toasd)
Mitglied
Benutzername: Toasd
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 13:14: |
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wow danke, das habe ich jetzt verstanden! 
noch eine kurze Frage:
warum ist eigentlich e^x = lim (1+x/n)^n ?
denn durch e = lim (1+1/n)^n würde man ja auf
e^x = lim (1+1/n)^(nx) kommen.
wie gehts dann weiter?
danke schonmal! |
Herder (Herder)
Junior Mitglied
Benutzername: Herder
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2006
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 14:57: |
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das war übrigens versehentlich der account von meinem kumpel...
(Beitrag nachträglich am 26., März. 2006 von herder editiert) |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1205
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 20:34: |
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Setze m=nx => n=m/x
Mit n->¥ geht auch m->¥ (Da x endlich) und somit gilt
ex=limn->¥(1+1/n)nx=limm->¥(1+x/m)m |
