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Tinimaus86 (Tinimaus86)
Junior Mitglied
Benutzername: Tinimaus86
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2006 - 15:06: | 
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Bräuchte dringend Hilfe bei der Aufgabe:
fa(x)=x*ln(x^2/a)
Dafür die Ableitungen!
dann:
1.1.2 Zeigen Sie, dass die Funktion F1/2 mit F1/2(x)=1/2x^2*ln(2x^2)-1/2x^2 eine Stammfunktion von f1/2 ist. Der Graph G1/2, die x-Achse und die Gerade x=2 schließen im 1.Quadranten eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie deren Flächeninhalt.
1.1.3 Jeder Graph Ga besitzt an der Stelle x=e eine Tangente ta. Ermitteln Sie eine Gleichung für ta und entscheiden Sie, ob jede dieser Tangenten mit den Koordinatenachsen ein Dreieck begrenzt. Begründen Sie ihre Entscheidung.
1.1.4 Es sei ha die Funktionsschar ha(x)=wurzel aus fa(x)/x; x Element R und x>= Wurzel a. Einige Graphen von ha begrenzen mit der x-Achse und der Geraden x=e² eine Fläche vollständig. Ermitteln Sie in Abhängigkeit vom Parameter a eine Gleichung zur Berechnung des Volumens des Körpers, der durch Rotation der beschriebenen Fläche um die x-Achse entsteht. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1773
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2006 - 21:21: |
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Hallo,
ich denke, du weisst schon, dass hier keine Hausaufgaben gemacht werden.
Schreibe bitte deine Ansätze, eigenen Gedanken, bisherige Rechnungen und Ergebnisse bzw. konkret die Stellen, an denen es hakt.
z.B. bei 1.1.2:
Setze für a = 1/2 ein, wie lautet dann f1/2?(x)
und
Wenn du eine Stammfunktion ableitest, erhältst du wieder die Ausgangsfunktion!
usw.
Gr
mYthos |
Tinimaus86 (Tinimaus86)
Junior Mitglied
Benutzername: Tinimaus86
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2006 - 21:39: |
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Hallo,
es geht auch nicht um die Aufgaben an sich: ich habe mittlerweile soweit alles wenn es richtig ist: ich habe als Ableitungen: fa'(x)=ln(x²/a)+2; fa''(x)=2/x und als fa'''(x)=-2/x2
bei der Stammfunktion ableiten komm ich immer auf: f1/2=xln(2x²)+1/x³-x und das kann irgendwie nicht stimmen, aber finde meinen fehler eben nicht.
Den Flächeninhalt habe ich. Die Aufgabe 1.1.3 soweit auch, weiß bloß nicht ob das nun ein Dreieck bildet und wenn ja wie ich das begründen muss. Absolut keinen Plan.
Bei der letzten habe ich als Ansatz die Nullstellen der Funktion ausgerechnet und bekomme dann als Gleichung für den Flächeninhalt A= Integrall von Wurzel a bis e² von ha(x); weiß aber nicht die Stammfunktion von Ha(x)
Und wie ich eine Gleichung für den Rotationskörper daraus aufstelle versteh ich auch nicht |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1776
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2006 - 23:49: |
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Die Ableitungen stimmen!
Zur Stammfunktion:
F1/2(x) = (1/2)x2ln(2x2) - x2/2
Die Ableitung davon ist (Produkt UND Kettenregel!):
F '1/2(x) = x*ln(2x2) + (x2/2)(1/(2x2))*4x - x
Die 3 Faktoren des mittleren Summanden ergeben alles gekürzt nur noch x, das reduziert sich mit dem letzen x zu 0, es bleibt als Ergebnis nur noch:
F'1/2(x) = x*ln(2x2)
So, für heute mal genug, der Rest später!
Gr
mY+ |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1777
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2006 - 13:53: |
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Die Fläche in 1.1.2 befindet sich zwischen der Nullstelle von f1/2 (diese ist 1/sqrt(2)) und 2. Sie beträgt
ò1/sqrt(2) 2 [x*ln(2x2)] dx = F1/2[Grenzen 1/sqrt(2),2] = 2,40888 E2.
1.1.3.
Die Steigung der Tangenten an fa(x) an der Stelle x = e ist der Wert der ersten Ableitung dortselbst (4 - ln(a)). Die Tangenten schneiden immer die Achsen, solange diese Steigung nicht Null ist. Im Falle, dass 4 - ln(a) gleich Null ist, steht die Tangente waagrecht und hat dann keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
4 - ln(a) = 0
ln(a) = 4
a = e4
°°°°°°°
Bei diesem Wert von a begrenzt die Tangente mit den Achsen kein Dreieck.
Anlage Schar_Tangente(2)b.gif
1.1.4
ha(x) = sqrt(ln(x2/a))
Solange a < e4, begrenzt diese Kurve mit der x-Achse und x = e2 ein Flächenstück. Bei dessen Rotation um die x-Achse ist
Vx = p * int [ha2(x)] dx
Vx = p * int{sqrt(a),e2} [ln(x2/a)] dx
Die untere Grenze ist die Nullstelle von ha(x), diese lautet sqrt(a) (berechnen!*)
Nun die Grenzen einsetzen, vereinfachen ...
V = p*[e2*(2 - 2*ln(a)) + 2*sqrt(a)] = p*[e2*ln(e2/a2) + 2*sqrt(a)]
*)
ln(x2/a) = 2*ln(x) - ln(a)
damit ist sowohl das Integral leichter zu lösen, als auch die Nullstelle zu ermitteln.
Berechne int(ln(x))dx mittels partieller Integration, es ist x*ln(x) - x
Gr
mY+
(Beitrag nachträglich am 24., März. 2006 von mythos2002 editiert) |
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