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Rumpfel (Rumpfel)
Neues Mitglied
Benutzername: Rumpfel
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2006 - 17:20: | 
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Hallo, ich habe mit der folgenden Aufgabe probleme:
Gegeben ist die Funktion
f<sub>t</sub>(x) = 2x / ((x<sup>2</sup> + t)<sup>2</sup>) mit t > 0.
Zunächst soll die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt berechnet werden.
Bei der Stammfunktion komme ich auf F<sub>t</sub>(x)= - 1 / (x<sup>2</sup> + t)
Aber da ist schonmal mein erstes Problem: wie berechne ich den Flächeninhalt einer zunächst unendlich scheinenden Fläche?
Bei der zweiten Aufgabe heißt es, dass eine Gerade h, auf der die Wendepunkte des Grapfen liegen, genau diese Fläche im Verhältnis 1:3 (also 1/4 zu 3/4) teilt.
Wenn ich die zweite Ableitung gleich 0 setze, dann komme ich auf die Wendepunkte
x1= - wurz t; y1 = - wurz t / 2t<sup>2</sup>;
x2 = 0 y2= 0 und
x3 wg. der Punktsymmetrie der Funktion wie x1, nur mit jeweils positiven Vorzeichen.
Aber wie mache ich das jetzt mit der Geraden?
Ich wäre echt total froh, wenn mir dabei jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank!
Chris |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1775
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. März, 2006 - 22:20: |
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Hi!
Zu 1.
Berechne zunächst die Fläche mit variabler oberer Grenze x und bilde dann erst vom Ergebnis den Grenzwert für x -> ¥. Da die Funktion durch den Nullpunkt geht und zu diesem punktsymmetrisch ist, ist für die halbe Fläche die untere Grenze mit 0 anzusetzen.
Die Stammfunktion ist richtig, somit zunächst für x:
A/2 = -1/(x2 + t) + 1/t
x -> ¥
A/2 = 1/t
(denn der Bruch im ersten Summand geht gegen Null)
2.
Die Gerade geht durch den Nullpunkt und soll auch die beiden anderen Wendepunkte beeinhalten. Sie schneidet f_t dort.
Nun berechnest du die Teilfläche, die die Gerade mit f_t in den Grenzen von 0 bis sqrt(t) bildet:
Gleichung der Geraden: g_t(x) = x/(2t2), die Stammfkt. G_t(x) = x2/4t2
A1 = ò0 sqrt(t)(F_t(x) - G_t(x)) dx = ....
A1 = -1/(2t) - 1/(4t) + 1/t + 0 = 1/(4t)
Die Gesamtfläche A haben wir schon berechnet, sie ist A = 1/t.
A2 = A - A1 = 3/(4t)
Nun ist es nicht mehr schwer, jenes t zu ermitteln, bei welchem A1 : A2 = 1 : 3 ist.
[t = 1]
Gr
mYthos |
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