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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 158
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2006 - 05:15: | 
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Hallo,
Wollte nur wissen, ob mein Ansatz richtig ist:
Das Schaubild K der Funktion f(x)= x^3/3(x-1)^2, die Geraden x=2, x=v (v>2) und y=1/3x+ 2/3 begrenzen eine Fläche. Es soll der Flächeninhalt von A(v) ermittelt werden.
Mein Ansatz:
x=2 und x=v (v>2) stellen die Intervallgrenzen des Flächenstückes dar.
Da y= 1/3x +2/3 mit f(x) eine Fläche begrenzt
würde ich den Ansatz
òf(x)- y dx mit a=2 und b=v (mit v>2) als Grenzen verwenden.
2. Es soll untersucht werden, ob es möglich ist, v so zu wählen, dass A(v) größer wird als 10^6.
nasatz: A(v)> 10^6
Ungleichung lösen und schauen, ob brauchbare Werte entstehen.
Sorry wenn das hier mehr Text als Mathe ist, aber hab leider keine Zeit den Rechenweg ausführlich aufzuschreiben.
Vielen Dank,
K. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3058
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2006 - 10:33: |
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Ist ok,
man sollte allerding prÜfen, ob x/3 + 2/3
f(x) im Integrationsintervall nicht schneidet
und ob dann die FlÜchenstÜcke vor und nach dem
Schnittpunkt mit gleichem oder verschiedenen
Vorzeichen behaftet sein sollen ( wenn letzteres,
kann einfach Über das ganze Intervall integriert werden )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaÜen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muÜ es einen Platz für Erraten, für plausibles SchlieÜen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg PÜlya]
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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 159
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2006 - 18:43: |
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Hallo,
Erst mal vielen Dank für die Antwort. Hab jetzt den ganzen Rechenweg aufgeschrieben:
f(x)= x^3/3(x-1)^2
y= 1/3x + 2/3
x=2
x=v (v>2)
/ch{int}f(x)-y dx
/ch{int}x^3/3(x-1)^2 - 1/3x + 2/3 dx
Vereinfachen
x^3-(x+2)(x-1)^2/ 3(x-1)^2
=>
/ch{int}x^2+x-2 /3(x-1)^2 dx
=>
/ch{int} x+2/3(x-1) dx
in den Grenzen von 2 bis v (v>2)
Stammfunktion von x+2/3(x-1)^2 ermitteln
(1/3 + 2/3*(1/x+1)) dx | Umschreiben des Terms
Integration durch Substitution:
v(x)= x-1 => x= v+1 v(2)= 1 v(v)= v-1
dx= dv
/ch{int} 1/3+ 2/3*(1/x-1) dx
= 1/3 /ch{int} 2/3* (1/v) dv
=1/3 [2/3* ln|v|]
Grenzen a=1 und b= v-1 einsetzen
A(v)= 1/3[ (2/3* ln|v-1|) -( 2/3* ln|1|)]
A(v)= 1/3 [ 2/3*ln |v-1| -2/3)]
A(v)= 2/9[ ln|v-1|-1]
Fläche in Abhängigkeit von v
Wenn ich jetzt nachweisen möchte, ob es möglich ist v so zu wählen dass A(v) > 10^6 ist, dann
müsste die Ungleichung folgendermaßen aussehen:
A(v)= 2/9*[ln |v-1|-1] > 10^6 |: 2/9
ln|v-1|-1 > 4,5*10^6 | +1
ln |v-1|> 4,5 *10^6 + 1
Jetzt müsste ich doch mit e (Exponentialfunktion e^x) irgendwie weiterrechnen (also als Umkehrung von ln)
=> Widerspruch, da die rchte Seite nicht lösbar ist.
=> es gibt also keine Werte für v für die A(v)> 10^6 wird.
Vielen Dank fürs Überprüfen,
K. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3061
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2006 - 19:22: |
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bei der Integration kann ich Dir nicht folgen
der
Integrand ist doch
x^3/(x-1)^2 - x/3 - 2/3
da wÜrde ich erseinmal das x^3/(x-1)^2 - x/3 - 2/3
durch
Polynomdivision zerlegen
in
x + 2 - x/(x^2 - 2x + 1)
=
x+2 - (1/2)(2x)/(x^2 - 2x +1)
=
x+2 - (1/2)(2x - 2+2 - 1)/(x^2 - 2x +1)
=
(x+2) - (1/2)(2x - 2)/(x^2+2x+1) + 1/(x-1)^2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaÜen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muÜ es einen Platz für Erraten, für plausibles SchlieÜen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg PÜlya]
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