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Beitrag |
    
Sandra
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. März, 2006 - 13:03: | 
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Brauche bei der folgenden Aufgaben Hilfe:
1.Zeige,dass U=<(x1;x2;x3\x1+2x2+3x3=0> ein Teilraum von R3 ist und die Vektoren b1=(-2;1;0) und b2=(-3;0;1) eine Basis von U bilden.
Fassen wir den R3 als geometrischen Vektorraum auf, wird U zu einer Ebene E1(die den Nullpunkt enthält).Notieren sie eine Gleichung von E1.
2. Die drei Punkte A=(0;0;0), B=(1;4;-3) und C= (-1;2;3) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC.Dieses Dreieck liegt in der Ebene E2.Geben sie eine Gleichung dieser Ebene an.
Zeigen sie,dass sich die Ebenen E1 und E2 in einer Gerade g2 schneiden und stellen sie eine Geradengleichung zu g2 auf.Wie verhalten sich die Geraden g1 und g2 zueinander?
Die Dreiecksseite CB liegt auf der Geraden g3.Geben sie auch für diese Gerade eine Gleichung an und untersuchen sie deren Verhältnis zu g1.
Danke im Voraus! LG |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2006 - 20:59: |
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Hallo Sandra,
1.
x1, x2 und x3 sollen wohl aus R sein, damit ist klar, dass U Teilmenge von R3 ist. Assoziativität, Kommutativität und Distributivität überträgt sich auf Untermengen, also ist noch z.z.
1. v1 + v2 ist in U
2. k•v1 ist in U
3. 0 ist in U
Zunächst nehmen wir oBdA an, x2 und x3 seien beliebig. Damit ist x1 = -2x2-3x3. Definiere v1 := (-2x2-3x3;x2;x3), v2 := (-2y2-3y3;y2;y3)
1. v1 + v2 = (-2x2-3x3;x2;x3) + (-2y2-3y3;y2;y3)
= (-2x2-3x3 -2y2-3y3 ; x2 + y2 ; x3+y3)
= (-2(x2+y2)-3(x3+y3) ; (x2+y2) ; (x3+y3))
Damit ist v1+v2 in U.
2. kv1 = (k•(-2x2-3x3) ; k•x2 ; k•x3)
= (-2•kx2-3•kx3 ; kx2 ; kx3)
Damit ist kv1 in U
3. 0 + 2•0 + 3•0 = 0
Damit ist 0 in U.
Basis: lineare Unabhängigkeit ist leicht zu zeigen.
Erzeugung: allgemeiner Vektor v1 = (-2x2-3x3 ; x2 ; x3) = x2 (-2;1;0) + x3(-3;0;1)
Ebenengleichung E1:
Koordinatenform: x1 + 2x2 + 3x3 = 0
Vektorform: x = l(-2;1;0) + m(-3;0;1)
Gruß Dörrby |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. März, 2006 - 21:01: |
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2.
E2: x = (0;0;0) + l(1-0;4-0;-3-0) + m(-1-0;2-0;3-0)
= l(1;4;-3) + m(-1;2;3)
g2: Gleichsetzen der Ebenengleichungen ergibt folgende drei Gleichungen
I. -2l1 - 3m1 = l2 - m2
II. l1 = 4l2 + 2m2
III. m1 = -3l2 + 3m2
I + 2•II + 3•III ergibt
0 = 0l2 + 12m2, also m2 = 0
Aus der Ebenengleichung E2 wird damit:
g2: x = l2(1;4;-3)
g3: x = (1;4;-3) + l3(-1-1;2-4;3-(-3))
= (1;4;-3) + l3(-2;-2;6)
g1 kenne ich leider nicht.
Gruß Dörrby |
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