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Integral mit ln?!?

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Confusemel (Confusemel)
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Benutzername: Confusemel

Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 19:36:   Beitrag drucken

ich bekomm die stammfunktion dieser funktion nicht auf die reihe:-(

A=2*Integral über -2 und -3,5 (6*x-12)/(x^2+4*x)-(-1,5*x-3)

ich bekomms nich hin:-( ich brauch die zwischenschritte un bedingt, denn die endgleichung heißt: 3ln.... und weiter komm isch nit:-(



bitte helft mir:-)



mfg mel
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Tux87 (Tux87)
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Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 603
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Februar, 2006 - 10:51:   Beitrag drucken

Hi Confusemel,

ich helfe dir bei der Stammfunktion und den Rest bekommst du dann bestimmt auch selbst hin...

Integral (6*x-12)/(x^2+4*x)-(-1,5*x-3)dx
den Teil -(-1,5*x-3) solltest du ja problemlos selbst hinbekommen (=3/4x^2+3x)

der schwierige Teil der Stammfkt. ist der Bruch:
Integral (6*x-12)/(x^2+4*x) dx
Dafür versuchst du den Bruch mal als Summe darzustellen:
bei x^2+4x kannst du x ausklammern:
x*(x+4)
Damit kannst du nun eine Summe erstellen:
(6*x-12)/(x^2+4*x)=A/x+B/(x+4)
Jetzt fasst du die beiden einzelnen Brüche wieder zusammen:
=(A*(x+4)+B*x)/(x^2+4*x)
Fürden den Rest kannst du den Nenner jetzt wegfallen lassen:
(6*x-12)=(A*(x+4)+B*x)
Jetzt fasst du im 2. Teil des Terms alles zusammen, was mit x zusammenhängt und was ohne x steht :
6*x-12=(A+B)*x+4*A
Daraus ergibt sich nun folgendes:
A+B=6
4*A=-12
A=-3
B=9
Nun hast du deinen Ausgangsbruch zerlegt:
(6*x-12)/(x^2+4*x)=-3/x+9/(x+4)
Damit hast du nun folgendes Integral:
Integral(-3/x+9/(x+4) dx
dies kannst du über ln lösen:
-3*ln(x)+9*ln(x+4)
Das kannst du der Schönheit halber noch zusammenfassen:
3*ln((x+4)^3/x)

Ich hoffe, dass du es verstanden hast und auch alle Zwischenschritte klar sind...
Alle Angaben sind wie immer ohne Gewähr - doch wer nicht wagt, der nicht gewinnt...

mfG
Tux
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Confusemel (Confusemel)
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Benutzername: Confusemel

Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Februar, 2006 - 13:37:   Beitrag drucken

also bis zum ausklammern hab ich ds verstanden, kein problem



hmhm aber dann komm ich mit der rechnung A+B nicht klar:-. du hast geschrieben (6*x-12)/(x^2+4*x) = A/x +B/(x+4)

was ist da dsa A? bzw dein nächster schritt ist mir nicht einleuchtend...also (A*(x+4)+B*x)...

bitte nochmals um hilfe:-(

(Beitrag nachträglich am 08., Februar. 2006 von confusemel editiert)
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Tux87 (Tux87)
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Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 604
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Februar, 2006 - 19:16:   Beitrag drucken

Hi Confusemel!

Das A ist irgendeine Variable, die du dann berechnest um den Bruch (6*x-12)/(x^2+4*x) zu zerlegen --> damit vereinfachst du das Stammformbilden.
Das Zerlegen nennt man auch Partialbruchzerlegung (event. solltest du danach mal googeln um es dir zu verdeutlichen).

Sozusagen versuchst du den einen schwer zu integrierenden Bruch in eine Summe aus leicht zu integriedenden BrÜche zu zerlegen.

A und B dann dann halt die ZÜhler der "einfachen" BrÜche.

Um A und B zu berechnen, bildest du die Summe aus den BrÜchen A/x und B/(x+4)
Die Summe der BrÜche soll wieder (6*x-12)/(x^2+4*x) ergeben.
Daraus ergibt sich der Term
(6*x-12)/(x^2+4*x) = A/x +B/(x+4)

Das (A*(x+4)+B*x)... ist das Bilden der Summe aus den 2 BrÜchen um A und B zu berechnen

(6*x-12)=(A*(x+4)+B*x) -- Nenner kannst du hier weglassen, da er sowieso gleich ist und fÜr A und B sowieso irrelevant ist...

nun stellst du dir Gleichungen auf um A und B zu berechnen:
(A+B)*x=6x
4*A=-12
A und B setzt du dann in die "einfachen" BrÜche ein und integriest diese "einfachen" BrÜche.

Ich weiÜ leider nicht genau, wie ich es so erklÜren kann, dass es wirklich verstÜndlich ist -- versuch am Besten mal nach "Partialbruchzerlegung" zu suchen - event. auch im Mathebuch (die erklÜrens ja meistens ganz gut)...
Alle Angaben sind wie immer ohne Gewähr - doch wer nicht wagt, der nicht gewinnt...

mfG
Tux

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