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Bloomy86 (Bloomy86)
Junior Mitglied
Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Februar, 2006 - 14:47: | 
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Hi,
ich bins schon wieder...
Diesmal bin ich mir aber sicher, dass ich nicht von alleine auf die Lösung komme, versuch das schon die ganze Zeit.
Erstmal wollte ich nur wissen, ob man den Abstand von einer Gerade zu einer Ebene genauso ausrechnet wie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene?
Wenn das so ist, dann schaff ich das selbst :-).
Da würd ich doch dann (wenn ich mal die Gerade nehm, die ich weiter unten hingeschrieben hab) den Punkt (2, 9, 0) aus der Geradengleichung nehmen, oder?
Dann soll ich noch eine Gleichung der Geraden g1' bestimmen, die bezüglich der Ebene E1 spiegelbildlich zu g1 liegt.
Die Gerade g1 ist: (2, 9, 0) + r(2, -3, 6) und die Ebene E1 ist (1; -0,5; 9)+s(-2, -1, 6) +t(-2/3, 1, -2)
Da weiß ich leider überhaupt nicht, was ich da machen soll. Kann mich auch nicht dran erinnern, das schonmal gemacht zu haben und versteh auch die Aufgabenstellung nicht ganz^^
Wär super, wenn mir das jemand erklären würde!
Danke schonmal! |
Tux87 (Tux87)
Senior Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 600
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Februar, 2006 - 11:38: |
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Hi Bloomy86,
zu deiner 1. Frage -- es gibt fÜr Geraden und Ebenen nur 3 MÜglichkeiten:
Parallel, Gerade liegt in der Ebene oder sie scheinden sich. Es bleibt also eigentlich nur die MÜglichkeit, dass die Gerade parallel zur Ebene verlÜuft, wenn der Abstand ungleich 0 sein soll.
In diesem Fall nimmst du einen Punkt der Gerade und machst dann den Abstand zur Ebene.
Ja, den Ortsvektor kannst du dann nehmen...
Ok, den Rest schaffst du ja selbst...
Alle Angaben sind wie immer ohne Gewähr - doch wer nicht wagt, der nicht gewinnt...
mfG
Tux
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Bloomy86 (Bloomy86)
Junior Mitglied
Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Februar, 2006 - 15:44: |
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Danke! Also, naja, den Rest schaff ich leider nicht selbst...meine eigentliche Frage zielte nämlich auf den 2. Teil der Aufgabe.
Das mit dem Abstand krieg ich jetzt hin. Aber wie geht das mit der gespiegelten Gerade?
(Beitrag nachträglich am 06., Februar. 2006 von bloomy86 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1740
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 01:01: |
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Hi,
alle Punkte der Geraden g1' liegen spiegelbildlich hinsichtlich der Ebene E1 zu den entsprechenden Punkten von g1, das heisst, dass entsprechende Punkte P, P' auf einer Senkrechten zu E1 liegen und deren Normalabstände von E1 gleich sind.
Somit nimmst du zwei beliebige Punkte (A, B) von g, und spiegelst diese an g, indem du von ihnen die Normale zu E1 bestimmst und deren Fusspunkt F (auf E1) ermittelst. Der Vektor AF ist dann FA'.
Falls der Schnittpunkt (S) von g mit E1 existiert, (wenn g nicht parallel zu oder in E1 liegt), ist dieser gegenüber der Spiegelung invariant, d.h. S' = S. Wenn man diesen zuerst ermittelt, braucht nur noch ein weiterer Punkt der Geraden g auf die beschriebene Weise gespiegelt zu werden.
In diesem Beispiel verläuft g jedoch zu E1 parallel (die Richtungsvektoren der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden sind linear abhängig, bzw. der Normalvektor der Ebene ist senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden). Dann kann jene Eigenschaft der gespiegelten Geraden g' ausgenützt werden, dass sie in diesem Fall zu g parallel ist. Somit muss erst recht nur ein weiterer Punkt von g gespiegelt werden.
[Lösung: g': X = A' + u*(2;-3;6); A' = (2;9;0) - (12/7)*(3;6;2), Abstand A von E1 = 6]
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 07., Februar. 2006 von mythos2002 editiert) |
Bloomy86 (Bloomy86)
Junior Mitglied
Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 13:10: |
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Hi,
so, den abstand d=6 hab ich auch schonmal raus :-)
Hab mal eine Frage zu den 2 Punkten von g: Ich habe ja nur einen Punkt der Gerade gegeben, das andere ist der Richtungsvektor. Kann ich den Richtungsvektor auch als Punkt nehmen?
Wenn ich die Normale zu E1 bestimme, kann ich da den Normalenvektor von E1 nehmen? Der steht ja auch senkrecht auf der Geraden.
"Der Vektor AF ist dann FA'" Mhm...was heißt das genau,muss ich dann die Punkte umdrehen? |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1741
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 15:34: |
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Nein, der Richtungsvektor ist ganz was anderes als der Ortsvektor zu einem Geradenpunkt! Einen zweiten Punkt der Geraden kannst du leicht bekommen, wenn du in der Parametergleichung für r einfach irgendeinen (anderen als Null) Wert einsetzt!
Ja, der Normalvektor der Ebene ist gleichzeitig der Richtungsvektor der Normalen.
Der Vektor AF ist gleich FA' bedeutet NICHT, dass die Punkte "umgedreht" werden, sondern, dass der Vektor AF in der GLEICHEN Richtung in F angesetzt wird und damit dann zu dem neuen Punkt A' zeigt.
Hinweis:
Ich habe die Lösung auf der Parallelität der beiden Geraden g und g' aufgebaut. Die beiden Geraden liegen ja jeweils im Abstand 6 zu der Ebene, und das heisst, dass der Punkt A' ebenfalls den Abstand 6 von E1 hat (Die Strecke AA' hat die Länge 12).
Der normierte Normalvektor der Ebene (Länge = 1) lautet (1/7)*(3;6;2), und das bedeutet, dass von A aus (plus oder minus) 2*6*(1/7)*(3;6;2) aufzutragen ist, um zum Punkt A' zu gelangen. Es fragt sich denn auch, in welche Richtung?
Da der Ursprung O den orientierten Abstand -18/7 von E1 hat, und A den (orientierten) Abstand +6, liegen A und O auf verschiedenen Seiten der Ebene. Somit liegen A' und O in demselben Halbraum und der orientierte Abstand des A' von E1 muss -6 betragen, somit ist das negative Vorzeichen für den normierten Vektor zu nehmen:
A' = A - 2*6*(1/7)*(3;6;2) = (2;9;0) -(12/7)*(3;6;2)
Fazit: Mit dieser Überlegung kann man sich ziemliche Rechenarbeit ersparen!
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 07., Februar. 2006 von mythos2002 editiert) |
Bloomy86 (Bloomy86)
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Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 10
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 17:29: |
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Danke, das hat mich jetzt schonmal ein ganzes Stück weitergebracht :-)
Bei deinem letzten Beispiel hast du nur einen Punkt der Gerade genommen, ist das richtig? Was hat es mit dem orientierten Abstand auf sich? Das hab ich nicht so ganz verstanden und ich weiß nicht wie man den ausrechnet. Einfach den normalen Abstand von Ursprung zur Ebene berechnen?
Habe mit einem anderen Normalenvektor gerechnet, nämlich (1, 2, 2/3), da ich den schon in einer Aufgabe vorher berechnet hatte und ich mir nicht sicher war, ob man den einfach so mit 3 multiplizieren kann...Mhm...geht das denn, kann ich das einfach so machen? sonst hab ich nachher so viele Brüche...
Die Gleichung meiner Normalen lautet:
x=(2,9,0) + u* (1,2,2/3)
Dann hab ich den Fußpunkt bestimmt, indem ich die Normalengleichung in E eingesetzt hab und da kam für u=-18/7 raus.
Genau das gleiche Ergebnis, das du für den orientierten Abstand vom Ursprung zur Ebene hattest. Hat das irgendwas damit zu tun?
Dann hab ich u eingesetzt und hab als Fußpunkt: (-4/7, 27/7, -12/7)
Mhm...weiß jetzt immer noch nicht so recht, was ich nun mit dem Punkt anstellen soll...vll eine Gerade bilden von der Gerade zum Fußpunkt?
Das wäre dann
f:x= (2,9,0) + t* (-10/7, -36/7, -12/7) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1742
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 19:38: |
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Hallo!
Du brauchst aus jenem Grund nur einen Punkt zu nehmen, weil doch die gesuchte Gerade g' parallel zu g ist, was du offenbar noch nicht berücksichtigt bzw. verstanden hast.
Der orientierte Abstand ist jener MIT Vorzeichen (also NICHT der Betrag), der sich ergibt, wenn man in die auf 0 gebrachte Hesse'sche Normalform die Koordinaten des Punktes einsetzt, also mit anderen Worten: Der Abstand mit Vorzeichen.
Solange du mit Richtungsvektoren bzw. Normalvektoren rechnest, die mit einem Parameter (z.B. r in der Geradengleichung) verbunden sind, kannnst du auch deren Vielfache verwenden!
Das Ergebnis für u (u = -18/7 ist eher Zufall) hängt von den Anfangsbedingungen (Länge des Richtungsvektors) ab, es hat im Normalfall nichts mit dem Abstand des Nullpunktes von E1 zu tun. Bei deiner Rechnung ergibt es sich deshalb, weil die Länge deines Richtungsvektors 7/3 beträgt und der Abstand 6 durch diesen dividiert wird: 6 / (7/3) = 18/7
Der Fusspunkt ist richtig! Dessen Koordinaten brauchst du eigentlich nicht, sondern nur den Wert von u. Diesen verdoppelst du nun in der Gleichung der Normalen, und schon hast du A'! Es ist A' = (2;9;0) - (36/7)*(1; 2; 2/3)
Oder - wenn dir das leichter fällt:
Bestimme den Vektor AF und addiere ihn zu F und wiederum hast du A'!
Mit A' und dem Richtungsvektor von g kannst du letztendlich die Gleichung der Geraden g' angeben.
Gr
mYthos |
Bloomy86 (Bloomy86)
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Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 19:57: |
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Ja, das verstehe ich nun :-)Endlich :-)
Mhm...wenn ich mich nicht irre, widersprichst du dich. Im vorletzten Beitrag hast du den Abstand d=6 verdoppelt und im letzten u=-18/7. Rechnet man beide Gleichungen mit den Werten aus, ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse für A'!
Wie wäre das denn, wenn ich die Gerade g' im Schnittpunkt von E und der Normalengleichung anfangen lasse und dann vor den Richtungsvektor ein Minus setze?
Also so: (-4/7 ;27/7 ;-12/7) + t * (-1 ;-2 ;-2/3)
Geht das nicht auch? Das kam raus, als ich das im Matheprogramm eingesetzt hab^^
Gibt es generell für die Spiegelung mehrere Lösungen?
(Beitrag nachträglich am 07., Februar. 2006 von bloomy86 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 20:31: |
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Hi!
Du hast noch immer nicht erkannt, dass g1 parallel zu E1 ist (bitte lese nochmals genau, was ich zuvor geschrieben habe), daher gibt es keinen Schnittpunkt g1 mit E1.
Nein, ich sehe keinen Widerspruch! Die Verdoppelung des Abstandes 6 geschieht beim NORMIERTEN Richtungsvektor! Länge 1; Faktor 6/7 bei (3;6;2) bzw. 18/7 bei (1;2; 2/3)
A' ist in jedem Falle (-22/7 ; -9/7; -24/7)
Bei der Spiegelung kann es nur EINE Lösung geben.
Ich verstehe auch nicht, warum du partout die Gleichung der Normalen (AA') berechnen willst, es ist doch die Gerade g1' zu suchen!! g1' geht zwar durch A', ist jedoch zu g1 parallel und hat deren Richtungsvektor (2;-3;6) ! Das solltest du mal zur Kenntnis nehmen. Oder du nimmst eben ZWEI Punkte der Geraden und spiegelst diese, auch dann erhältst du g1'.
Gr
mYthos+ |
Bloomy86 (Bloomy86)
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Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 20:35: |
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Ok, ok! Dann nehm ich das jetzt mal so hin!
Hab mir alles nochmal durchgelesen und nun hoffentlich endlich begriffen!
Werd jetzt auch nicht weiter nerven mit meinen Fragen^^
Danke :-) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1746
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Februar, 2006 - 20:56: |
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Bitte mich nicht mißzuverstehen:
Du nervst nicht! Vielleicht ist es von mir falsch rübergekommen. Bitte frage so lange, bis du das 100 % ig verstehst! Das ist doch der Sinn dieses Forums! Du solltest dir bitte nur die Antworten genau durchlesen bzw. vielleicht näher darauf eingehen .. naja, das ist sicher leichter gesagt als getan. Bitte frag' jedenfalls, bis du dir sicher bist, es verstanden zu haben, mir macht das nichts aus.
Wir müssen nur die Sache gemeinsam erarbeiten! Und du musst auch nichts "hinnehmen", solange dir das konfus erscheint.
Hast du jetzt auch diesen (gespiegelten) Punkt A'? Wie sieht nun die gespiegelte Gerade aus?
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 07., Februar. 2006 von mythos2002 editiert) |
Bloomy86 (Bloomy86)
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Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Februar, 2006 - 13:57: |
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Ok:-)
Also, mein Punkt A' ist (-22/7,-9/7, -24/7) und die Gerade lautet:
g:x = (-22/7,-9/7, -24/7) + s (2,-3,6)
Ich hoffe, das ist so richtig!
Hab mit dem normalenvektor (3,6,2) gerechnet, weil ich den Bruch nicht dadrin haben wollte.
Also, hab die Normalengleichung bestimmt, die Variable ausgerechnet (die war -6/7) und sie verdoppelt und dann kam die Gerade raus! |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1749
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Februar, 2006 - 20:52: |
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Hi,
ja, so stimmt alles!
Gr
mYthos |
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