| Autor |
Beitrag |
    
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 15:49: | 
|
Hallo,
Wieder einmal eine Aufgabe mit einer einbeschrieben Kugel, aber diesmal würde ich nur wissen, ob ich mich nicht verrechnet habe.
Welchen Wert kann der Radius einer Kugel maximal annehmen, die von einer quadratischen Pyramide mit den Eckpunkten A( 6;0;49 B( 6;0,4) C( 6;6;14)
D( 0;6;14) sowie der Schnittpunkt der Diagonalen
M( 3,3;14) und die Spitze S ( 3; 3; 20)
Mein Ansatz:
Da die Kugel einbeschrieben ist, kann der Radius maximal den Wert des Abstandes vom Mittelpunkt der Kugel und einem Berührpunkt haben.
Der Mittelpunkt liegt auf der Geraden MS mit
x: (3;3;14) + r( 0;0;-6)
müsste man nur noch den Absatnd vom Berührpunkt, d.h. von einer seitenfläche zum Mittelpunkt, d.h. der Geraden MS berechnen.
(Ich hab die Seitenfläche CDS verwendet, die ich mit E bezeichne)
E: 2x2+ x3=26
Abstand d(EM)
r=| 2x2 +x3 -26/ sqrt5 |
r= | 6r-6/sqrt 5|
Fall 1: r*sqrt5 = 6r -6
r= -6/ sqrt 5 -6
r= 1,59
2. Fall : r*sqrt 5 = -6r + 6
r= 6/sqrt 5 +6
r= 0,73
da r=1,59 > r= 0,73 ist, kann die Kugel höchstes einen Radius von 1,59 8längeneinheiten) haben.
Wäre mein Ansatz so richtig, oder hab ich mich schon wieder verrechnet?
Vielen, vielen Dank,
K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1735
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 16:40: |
|
Hi,
wenn alle 4 Basispunkte gegeben sind, wozu braucht man denn dann extra noch den Schnittpunkt der Diagonalen? Den kann man ja berechnen, und er ist NICHT M(3;3;14). Andererseits, wenn M stimmen sollte, passen A, B, C, D nicht, diese bilden ausserdem auch kein Quadrat.
Und: Welchen Berührungspunkt hast du in die HNF der Ebene eingesetzt?
Das sind alles Fragen, die zuerst geklaert werden sollten.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 31., Januar. 2006 von mythos2002 editiert) |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 151
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Februar, 2006 - 11:25: |
|
Hallo Mythos,
Hab erstmal zum besseren Verständnis eine Skizze eingefügt( d.h. schicke ich dir per PN)
"Welchen Berührungspunkt hast du in die HNF der Ebene eingesetzt? "
Ich hab einfach die x3- Komponente der Geradengleichung (die Gerade auf der der Mittelpunkt liegt) eingesetzt.
(Beitrag nachträglich am 01., Februar. 2006 von Witting editiert) |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 146
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Februar, 2006 - 16:22: |
|
@ K:
Leider steht Dein Beispiel nun angerissen im Raum,
die Angabe hast Du nicht ausgebessert,
man kann also nicht helfen und jemand,
der Übungsbeipiele sucht, hat auch nichts davon!
elsa |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1747
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Februar, 2006 - 00:39: |
|
Hi K.,
in der von dir gestellten Angabe stimmten die Punkte A und B keinesfalls. Da wirst du sicher einsehen, dass dir auf diese Weise niemand helfen konnte.
Mit der später von dir berichtigten Angabe A(0;0;14), B(6;0;14) sieht das nun klar aus.
Dann ist noch etwas durcheinandergeraten: Du wolltest r als Parameter der Geradengleichung MS und gleichzeitig als den gesuchten Radius verwenden. Das ist sicher ein guter Ansatz, aber dabei musst du sehr achtgeben: Das kannst du nämlich nur dann machen, wenn der Anfangspunkt M ist und der Richtungsvektor RICHTIG orientiert wird (nach oben!) und er die Länge 1 hat! Letzteres hast du nicht beachtet und deswegen war deine Rechnung falsch.
Somit:
X = (3;3;14) + r*(0;0;1), der Mittelpunkt der gesuchten Kugel ist dann M1(3; 3; 14 + r). Dieser muss von der Ebene CDS den Abstand r haben:
Ebene CDS:
2x2 + x3 - 26 = 0 .. war richtig!
Abstand des M1:
|2*3 + 14 + r - 26/sqrt(5)| = r
|(r - 6)/sqrt(5)| = r
Fall 1:
r - 6 = r*sqrt(5)
r(1 - sqrt(5)) = 6
-->
r negativ, unbrauchbar
Fall 2:
r - 6 = -r*sqrt(5)
r(1 + sqrt(5)) = 6
-->
r = 6/(sqrt(5 + 1))
Nenner rational machen ...
r = (3/2)*(sqrt(5) - 1) = 1,854 m
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gr
mYthos |
|
