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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 15:19: | 
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Hallo,
Irgendwie hab ich bei folgender Aufgabe nicht den richtigen Durchblick:
Man soll die Berührpunkte aller Tangenten an den Graphen von f(x)= x^3 * e^-0,5x^2, die durch den Ursprung gehen bestimmen.
f'(x)= x^2*e^ -0,5^2(^3-x^2)
Da O(0,0) ein Punkt der Tangente ist, hab ich die 1. Ableitung Null gesetzt.
0 = x^2*e^-0,5x^2(3-x^2)
x^2= 0 => x=0
e^-0,5x^2 ungleich 0 (da e^x nie Null werden kann)
3-x^2 = 0
x1= sqrt 3 x2= -sqrt 3
Die Werte +sqrt 3 und -sqrt 3 sind mit den Hoch- und Tiefpunkten der Funktion identisch.
Wenn ich das Schaubild der Funktion zeichne, und Tangenten, die durch den Ursprung gehen anlege, kommt das hin.
Hab ich das so richtig (rechnerisch) gemacht?
Vielen Dank im Voraus,
K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1734
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 16:18: |
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Hi,
----Zitat ----
f'(x)= x^2*e^ -0,5^2(^3-x^2)
Da O(0,0) ein Punkt der Tangente ist, hab ich die 1. Ableitung Null gesetzt.
----Zitat ----
Stimmt nicht. Wenn der Ursprung auf der Tangente liegt, heisst das lediglich, dass der Ursprung in die Tangentengleichung eingesetzt werden kann und dies zu einer Identitaet fuehrt. Das Nullsetzen der 1. Ableitung fuehrt sofort zu den Extremwerten, in denen die Steigung der Tangenten Null ist. Deswegen muessen die Tangenten aber noch lange nicht durch den Ursprung gehen.
Ausserdem ist deine 1. Ableitung anfangs unverstaendlich, wenngleich danach richtig.
f '(x) = x^2*e^(-0,5x^2)*(-x^2 + 3)
Da die Tangente durch (0;0) geht, lautet ihre Gleichung
y = m*x, Steigung m ist zu berechnen
m = f '(0) und diese Steigung ist (zufaellig!) fuer x = 0 ebenfalls Null! Das heisst aber noch nicht, dass nun im Ursprung ein Extremwert vorliegt; das ist naemlich nicht der Fall, vielmehr ist dort ein Wendepunkt (mit waagrechter Wendetangente -> Terrassenpunkt). Die Tangenten in den von dir angesprochenen Extremstellen verlaufen ebenfalls waagrecht, aber gehen NICHT durch den Ursprung.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 31., Januar. 2006 von mythos2002 editiert) |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 19:52: |
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Hallo Mythos,
Deine Erklärung ist mir einleuchtend, aber wenn ein Wendepunkt mit waagerechter Wendetangente im Ursprung vorliegt, dann müsste ich die Existenz dessen mit Hilfe der 1., 2. und 3. Ableitung nachweisen, oder?
Ferner, würde an dem sogenannten Terassenpunkt (ich nehme an, das es ist nur eine andere Bezeichnung für den Sattelpunkt) ein Vorzeichenwechsel vorliegen. (2. Ableitung auf Vorzeichenwechsel untersuchen)
Wenn ich mir meine Skizze anschaue, müsste es nur eine Tangente geben die durch den Ursprung geht.
Gruß,
K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1736
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Januar, 2006 - 22:06: |
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Hi,
ja, Terrassenpunkt und Sattelpunkt ist dasselbe.
Und: Fuer einen Hoch- oder Tiefpunkt muss die 2. Ableitung (an der Stelle x = 0) ungleich Null sein. Diese ist hier aber ebenfalls Null, daher muss die 3. Ableitung gebildet werden, welche 6, also ungleich Null ist. Deswegen ist (0;0) ganz klar ein Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente.
Allgemein muss man so lange ableiten, bis eine eine von Null verschiedene Ableitung vorliegt. Ist diese von geradzahliger Ordnung, handelt es sich um einen Extrempunkt, bei ungeradzahliger Ordnung der Ableitung, die ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
In einem Punkt der Kurve gibt es immer nur eine Tangente, wenn die Funktion dort differenzierbar ist. Die Kurve geht doch durch den Ursprung, das muesste in deiner Skizze zu erkennen sein.
Gr
mYthos
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