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Bloomy86 (Bloomy86)
Neues Mitglied
Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 14:22: | 
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Hallo,
frage mich schon seit gestern, wie man wohldie Eigenvektoren einer Abbildung ausrechnet. Hab mir zwar schon vieles dazu durchgelesen, allerdings waren da nie Beispiele dabei und dann versteh ich sowas leider nicht  .
Mir wurd auch gesagt, dass man das wohl viel einfacher mit nur einer Gleichung berechnen kann, ich versteh das aber besser, wenn ich das mit 2 mache und hätte auch gerne die Erklärung dazu ;-). So müssen wir das nämlich dann auch in der Klausur rechnen...
Hab hier mal eine Aufgabe und würd gern wissen, ob die so richtig ist^^
Hm...wie man hier wohl eine Matrix aufschreibt?
Gegeben ist die Matrix
2 -2
-2 2
Die charakteristische Gleichung dazu ist:
k²-4k=0
Man erhält daraus k=0 und k=4 als Eigenwerte.
Die erste Gleichung ist somit:
2 -2 x
-2 2 * y = O
Tut mir leid, kann das leider nicht übersichtlicher aufschreiben Aber man kann es sich hoffentlich denken, was da steht...
Wenn ich die erste Gleichung auflöse, hab ich daraus x=y
Die zweite Gleichung wäre die gleiche wie oben nur das hinter dem Gleichheitszeichen 4x und 4y untereinander steht...
Da kommt dann raus y=-x
Jetzt weiß ich aber nicht, wie dann die Eigenvektoren heißen...Also, kann ich jetzt für x und y unendlich viele Zahlen wählen oder ist der erste Vektor (1,1) und der zweite (-1,1)?
Danke schonmal ;) |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1180
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 15:48: |
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quote:Da kommt dann raus y=-x
Damit hast Du schon die Lösung. Eigenvektoren sind alle Vektoren (x,y) mit y=-x und (x,y)¹0.
Das bedeutet jeder Eigenvektor zum Eigenwert 0 lässt sich darstellen als (x,-x)=x(1,-1), womit Du auch schon den Eigenraum zum Eigenwert 0 hast (Also den Kern der Matrix).
Kleiner Tip noch zur Übersichtlichkeit von Matrizen. Der Befehl \tablenb{...} erzeugt eine Tabelle ohne Rahmen, so dass Du die Spalten und Zeilen der Matrix deutlicher sichtbar machen kannst. Beispiel:
\tablenb{(,2,-2,),(x),,(0)
(-2,2,),(y),=,(0)}
erzeugt die "Matrixgleichung" |
Bloomy86 (Bloomy86)
Neues Mitglied
Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 16:50: |
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Super, danke 
Und wenn ich jetzt als LÜsung y=5x habe, dann ist aber doch Vektor
Eigenvektor der Abbildung, oder?
Mhm...hatte bei einer Aufgabe noch etwas sehr merkwürdiges raus:
Die Eigenwerte sind k=5 und k=1
Die Gleichungen
und
ergaben einmal für die erste Gleichung x=0 und y=y
und für die zweite Gleichung x=x und y=-3/4x.
Was heißt das denn? x darf doch nicht =0 sein, oder? Kann ich bei der 2. Gleichung dann x frei wählen und y steht fest? Irgendwie verwirrt mich das etwas... |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1727
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Januar, 2006 - 00:48: |
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Hi!
Bei y = 5x lautet ein Eigenvektor NICHT (5;y), sondern (1;5)
Warum? Wenn das LGS abhängig ist (beide Gleichungen für x, y sind identisch), kann für eine der Variablen (x) gleich 1 gesetzt werden, so ist y = 5.
Genauer gesagt, sind die Eigenvektoren alle Vektoren (x;y), für die gilt: y = 5x, x (ungleich Null) kann gewählt werden. x kann nicht Null sein, weil sonst y auch Null wäre und als Eigenvektor der Nullvektor (0;0) ausgeschlossen ist.
In anderen Fällen kann es durchaus vorkommen, dass entweder x oder y gleich Null ist, also ein Eigenvektor z.B. (0;1) oder (1;0) lautet ...
Beispiel: Für
lautet die charakteristische Gleichung
(2 - l)*(1 - l) = 0, die Eigenwerte somit l1 = 2, l2 = 1.
Ein Eigenvektor für den Eigenwert l1 = 2 wird nun nach
| (2 | 0) | | (x) | | (x) | | (0 | 1) | . | (y) | = 2. | (y) |
ermittelt und dies führt zu dem System
2x = 2x
y = 0
Wir erkennen sofort daraus den Eigenvektor (1;0), denn für x ist jeder reelle Wert ungleich Null möglich.
Damit müssten nun auch deine (zwar richtigen, aber unvollständigen) Ergebnisse der letzten Aufgabe für dich verständlich werden.
Für den Eigenwert k1 = 5 lautet der Eigenvektor (0;1) und für k2 = 1 ist er (4;3) [Hinw.: Setze x = 4, dann gibt's keine Brüche].
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 28., Januar. 2006 von mythos2002 editiert) |
Bloomy86 (Bloomy86)
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Benutzername: Bloomy86
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2006
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Januar, 2006 - 12:40: |
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Hi! :-)
Wie schreibt man denn den Vektor für x=y oder y=-x auf? Ist das dann (y,x)?
Habe da allerdings als 2. Eigenvektor bei meiner Aufgabe nun 4y=-3x, also wäre das doch eigentlich der Vektor (4,-3)...
(Beitrag nachträglich am 28., Januar. 2006 von bloomy86 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1728
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Januar, 2006 - 15:42: |
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Setze - wie schon erwähnt - einfach für eine der beiden Größen eine beliebige Zahl und dann ergibt sich aus dem LGS die andere Größe. Wenn ein Wert bereits Null ist, kannst du natürlich nur den anderen wählen.
Wenn x = y bzw. -x = y, dann ist der Eigenvektor (1;1) bzw. (-1;1).
Und beim anderen hast du freilich Recht - sorry für meinen Flüchtigkeitsfehler - tatsächlich ist es der Vektor (4;- 3) oder (-4;3), ich hatte leider das Vorzeichen unterschlagen.
Gr
mYthos |
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