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Wachstums und Zerfallsaufgaben

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carina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 09. Januar, 2006 - 08:28:   Beitrag drucken

Hallo!
Mache gerade die Matura und habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Heißes Wasser hat sich in einem Raum mit der Umgebungstemperatur Tu= 18°C innerhalb von 3 Minuten von der Siedetemperatur To= 100°C auf 60°C abgekühlt. Berechnen Sie, wann das Wasser nur mehr 2°C wärmer ist als die umgebung, wenn für die Abkühlung eines Körpers folgendes Gesetzt gilt:

T(t)= Tu+(To-Tu)*e hoch -k*t


Normalerweise benutze ich die Formel

N(t)=N(o)*a hoch t

da ist N(t) der Wert nach dieser Zeit- nach t
und N(o) der Ausgangswert.
Wie man a bezeichnet weis ich garnich so genau, aber das ist immer die wichtige Zahl für das Zerfallsgesetz.

Doch wie nehme ich die Formel für die Umgebungstemperatur,.. her

Ich dachte es könnte so sein:

?= 18+(100-18)*e hoch -k*3

Zuerst muss ich ja das (hoch -k)ausrechnen, d.h. das Zerfalls oder Wachstumsgesetz.

Und die Lösung sollte 16min. und 38 sec. sein.

Bitte helft mir! Danke!
Ich glaub ich stehe hier auf der Leitung.
Carina
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1696
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. Januar, 2006 - 10:57:   Beitrag drucken

Hallo Carina!

Das Gesetz der Abkühlung auf die Umgebungstemperatur ist eine spezielle Formel, die du hier anwenden musst. Sie beruht allerdings ebenfalls auf auf dem exponentiellen Wachstum bzw. Zerfall, wie in der ersten Formel beschrieben. Grundsätzlich - vom Aufbau bzw. der Herleitung her - haben diese Formeln als Basis immer die Zahl e.

In der allg. Beziehung (Wachstum od. Zerfall)

N(t) = N(o)*e^(k*t)

kann man statt e^(k*t) = (e^k)^t schreiben und e^k einfach a setzen, damit erhält man

N(t) = N(o)* a^t
°°°°°°°°°°°°°°°°

Wir sehen also, dass beide Formeln gleichbedeutend sind, in a ist eben die Wachstumskonstante k schon enthalten.

----------------------------------------------

Um auf die gegenständliche Aufgabe zurückzukommen:

Um zuerst die Konstante k zu bestimmen, setzen wir in

T(t)= Tu + (To - Tu)*e^(-k*t)

die gegebenen (Anfangs-)Bedingungen ein:

60 = 18 + (100 - 18)*e^(-k*3)
42 = 82*e^(-3k)

daraus folgt k
[Exponentialgleichung durch Logarithmieren lösen]

Danach ist

20 = 18 + (100 - 18)*e^(-k*x)

wobei das eben berechnete k einzusetzen ist und x die gesuchte Zeit bedeutet.

2 = 82 * e^(-k*x)
...
0 = ln(41) - k*x
...

Kommst du damit nun alleine weiter?

Gr
mYthos
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carina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 09. Januar, 2006 - 15:01:   Beitrag drucken

Super, danke! Den Rest schaffe ich alleine

Lg Carinna

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