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Anni00 (Anni00)
Neues Mitglied
Benutzername: Anni00
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Januar, 2006 - 13:00: | 
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http://www.x2-asian.com/uploads/pics/nikki2847901.jpg
Brieftauben vermeiden es erfahrungsgemäß, über weite Wasserflächen zu fliegen. Ein möglicher Grund kann sein, dass Wasser sich am Tag weniger erwärmt als Land. Über dem Land steigt die Luft daher stärker auf als über dem Wasser. Eine Taube benötigt also über einer Wasserfläche mehr Energie, um ihre Flughöhe beizubehalten. Wir nehmen an,dass Ta uben von einem Boot im Punkte S eines Sees freigelassen werden. Der kürzeste Weg von S zum Zielpunkt Z ist gestrichelt eingezeichnet. Doch machen die Tauben einen Umweg. Sie fliegen zuerst zu einem Punkt P am südlichen Ufer nicht weit vom Punkt S entfernt. Dann folgen sie dem Ufer ostwärts bis zum Punkt Z. (Der Einfachheit haber sei angenommen, daß Ufer in west-östlicher Richtung gerade verlaufe.) Die Frage ist, wo der Punkt P gewählt werden muss, damit die für den Flug S über P nach Z benötigte Energie minimal wird.
Der Energieverbrauch einer Taube pro Kilometer über Land sei e1 und pro Kilometer über Wasser e2. Dann gilt e2=c*e1 mit c>1. Die Streckenlägen AS=r und AZ=s seien vorgegeben. Wir verfolgen zwei Möglichkeiten, die günstige Flugroute zu bestimmen.
a) Beschreiben Sie die verbrauchte Gesamtenergie E als Funktion von PZ=x und minimalisieren Sie diese Funktion über dem Intervall )0,s(.
b) Beschreiben Sie die verbrauchte Gesamtenergie G als Funktion des Winkels alpha und bestimmen sie das Minimum dieser Funktion über dem Intervall )0°,90°(.
c) Es sei c=2, r=5km und s=100km. Errechnen Sie mit diesen Werten die Länge des energiemäßig günstigsten Weges von S über P nach Z und zum Vergleich die Längen des direkten Weges SZ und des Weges von S über A nach Z. Berechnen Sie den Energieverbrauch auf den verschiedenen Wegen.
Könnt ihr mir die Fragen erläutern und einige Lösungsansätze geben??? ^^ |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1691
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Januar, 2006 - 21:06: |
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Hi!
Diese Art der Extremwertaufgabe taucht immer wieder in diversen Varianten auf und ist auch nicht ganz leicht.
Prinzipiell kann die Aufgabe entweder über die Längen und Anwendung des Pythagoras' (a) oder aber durch Einführung eines Winkels als Variable realisiert werden (b).
In beiden Fällen ist die Rechnung zuerst allgemein und erst dann mit den Angaben in c) zu durchzuführen.
Aus der Skizze ist ersichtlich:
PZ = x
AP = s - x
PS = z = sqrt(r² + (s - x)²) (setze die Strecke PS = z)
Der Energieverbrauch ist immer proportional zu dem zurückgelegten Weg:
Energie auf dem Landweg: e1 * x
Energie über Wasser: e2*sqrt(r² + (s - x)²)
Lt. Angabe ist e2 = c*e1 (mit c > 1)
Gesamtenergie e
e = e1*x + e2*sqrt(r² + (s - x)²)
e = e1*x + c*e1*sqrt(r² + (s - x)²)
e = e1 * (x + c*sqrt(r² + (s - x)²))
Der Faktor e1 ist konstant und kann für die Ermittlung des Extremwertes vorerst weggelassen werden (1. Vereinfachung der Ansatzfunktion)
e(x) = x + c*sqrt(r² + (s - x)²) (x) [hängt nur von x ab]
Diese Funktion ist nun nach x abzuleiten und die Ableitung Null zu setzen .. . Die weitere Rechnung gestaltet sich nun nach bekannten Regeln nicht allzu schwer, eventuell ist die zweite Ableitung zur Ermittlung der Art des Extremums (ob Min. oder Max. -> es soll sich ja ein Minimum ergeben, das muss man aber mittels der 2. Ableitung zeigen) etwas aufwendiger.
Schau mal, ob du dies nun weiterrechnen kannst, es ergibt sich relativ einfach für
x = s - r/(sqrt(c² - 1)) und
z = r*c/(sqrt(c² - 1)) [ = Strecke PS]
Hinweis für b)
sin(alpha) = r/z
cos(alpha) = (s - x)/z
- >>
z = r/(sin(alpha))
x = s - r*cos(alpha)/sin(alpha)
damit ist (wiederum e1 ausklammern und weglassen)
e(alpha) = s - r*cos(alpha)/sin(alpha) + c*r/sin(alpha)
Wiederum ableiten und Null setzen ...
dann r/sin²(alpha) ausklammern, dies ist ungleich Null
..
cos(alpha) = 1/c !!
daraus sin(alpha) = sqrt(c² - 1)/c
und weiter x, z, e ....
c)
Wegen cos(alpha) = 1/c ( = 1/2)
ist alpha = 60° !!
Soweit einige Ansatzpunkte, der Rest müsste für dich zu schaffen sein. Bei weiteren Unklarheiten jedoch bitte nochmals fragen!
Gr
mYthos |
Anni00 (Anni00)
Neues Mitglied
Benutzername: Anni00
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Januar, 2006 - 14:56: |
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Ich erhalte also für a) das Ergebnis x= s- sqrt (r^2/ (c^2-1). Dort ist auch das Minimum. Ich konnte die zweite Ableitung jedoch nicht lösen (habe mich irgendwie verstrickt-wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte;)) Ich schätze aber, dass x ein Minimum ist, da sowohl r, als auch c und s größer sind als 0.
Für c) habe ich einen Energieverbrauch bei der indirekten Strecke S->P->Z von 108,65 und für die direkte Strecke S->Z einen Energieverbrauch von 200,24.
Für b) habe ich als Funktion:
e(alpha)= s- r* (cos alpha/sin alpha) + c* (r/sin alpha)
Ich konnte jedoch die Ableitung nicht errechnen...
Sind die Ergebnisse bislang richtig und kannst du mir vielleicht bei b) ein wenig weiterhelfen? Und bei der 2. Ableitung bei a)? Vielen Dank! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1695
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Januar, 2006 - 00:07: |
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Bei der Ermittlung des Vorzeichens der 2. Ableitung an der Extremstelle kann man sich einige Mühe ersparen, wenn die erste Ableitung f ' ein Bruch u/v ist. Da f ' ja Null gesetzt wurde, ist auch u = 0 (nur an der Extremstelle!). Die 2. Ableitung
f '' = (u'v - uv')/v²
geht daher über in
f ''(_extr) = u'/v !!
Da uns ja nur das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Extremstelle interessiert, genügt es, nur den Zähler abzuleiten und den Nenner unverändert zu lassen.
Im Beispiel ist der Nenner der ersten Ableitung ohnehin positiv, also untersuche für die 2. Ableitung nur noch das Vorzeichen der Ableitung des Zählers.
e(x) = x + c*sqrt(r² + (s - x)²
e'(x) = 1 - c*(s - x)/sqrt(r² + (s - x)²)
e'(x) = [sqrt(r² + (s - x)²) - c*(s - x)]/sqrt(r² + (s - x)²)
e'(x) = 0 ->
r² + (s - x)² = c²*(s - x)²
r² = (s - x)²*(c² - 1)
s - x = r/sqrt(c² - 1)
x = s - r/sqrt(c² - 1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dies ist auch dein Ergebnis (aus dem Zähler kannst du noch die Wurzel ziehen ..).
Nun ist der Wert der 2. Ableitung an der Extremstelle gleich der Ableitung des Zählers durch den Nenner (d. 1. Abl.)
e'(x) = [sqrt(r² + (s - x)²) - c*(s - x)]/sqrt(r² + (s - x)²)
e ''(x_extr) = [-(s - x)/sqrt(r² + (s - x)²) + c]/(+)sqrt(r² + (s - x)²)
e ''(x_extr) = [-(s - x) + c*sqrt(r² + (s - x)²) + c]/(r² + (s - x)²)
Der Nenner ist jedenfalls immer positiv, aber auch der Zähler, denn sqrt(r² + (s - x)²) > (s - x), somit existiert ein Minimum.
b.)
...
e(alpha) = s - r*cos(alpha)/sin(alpha) + c*r/sin(alpha)
e(alpha) = s - r*(cos(alpha) - c)/sin(alpha)
e'(alpha) = - r*(- sin²(alpha) - cos(alpha)*(cos(alpha) - c))/sin²(alpha)
e'(alpha) = r*(1 - c*cos(alpha))/sin²(alpha)
e'(alpha) = (r*/sin²(alpha)) * (1 - c*cos(alpha))
-> 0
1 - c*cos(alpha) = 0
cos(alpha) = 1/c
°°°°°°°°°°°°°°°°
alpha = arccos(1/c)
sin(alpha) = 1 - cos²(alpha) = (sqrt(c² - 1))/c
daraus x, z durch Einsetzen.
c)
x = 100 - 5/sqrt(3)
s - x = 100 - x = 5/sqrt(3)
r = 5
e = e1 * (x + c*sqrt(r² + (s - x)²))
e = e1 * (100 - 5/sqrt(3) + 2*sqrt(25 + 25/3))
e = e1 * (100 - 5/sqrt(3) + 20/sqrt(3))
e = e1 * (100 + 5*sqrt(3))
e = e1 * 108,66
Die Zahlen bei deiner Energie stimmen, allerdings sind diese noch mit e1 zu multiplizieren.
Gr
mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1698
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Januar, 2006 - 15:08: |
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Diese Frage wurde auch in
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=26535
beantwortet. Dort ist dies mit dem Formeleditor verfasst und daher weit besser zu lesen ...
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 09., Januar. 2006 von mythos2002 editiert) |
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