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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 146
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Dezember, 2005 - 19:10: | 
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Hallo,
Ich soll den Mittelpunkt einer Kugel, die der quadratischen Pyramide mit den Ecken A(3;-3;0), B(3;3;0), C(-3;3;0), D(-3;-3;0) und
der Spitze S(0;0;4) einbeschrieben ist, bestimmen.
Wenn die Kugel von der quadratischen Pyramide einbeschrieben ist, dann könnte die Gerade MS, wobei M Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD ist,die Gerade sein auf der sich der Mittelpunkt befindet.
Wie komme ich aber jetzt auf den Mittelpunkt?
Einfach eine streckenteilung durchführen? (Wäre doch zu einfach)
Vielen Dank, K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1689
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Dezember, 2005 - 21:42: |
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Hi!
Der Mittelpunkt der Kugel, nennen wir ihn M1, befindet sich sicher auf MS.
Aber wie wolltest du die Strecke MS teilen? Doch nicht etwa in die Hälfte? So einfach ist das allerdings nicht!
Da die Berührung mit der Kugel längs der Höhen h1 der Seitendreiecke stattfindet, legt man einen Parallelschnitt durch die Pyramide, d.i. eine Ebene parallel zu einer Basiskante (a = 6) durch MS.
Dann sieht man ein gleichschenkeliges Dreieck, dessen Hälfte ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Katheten a/2 = 3, h = 4 und der Hypothenuse h1 ist. h1 wird mittels Pythagoras zu 5 berechnet.
Dieses Dreieck ist ähnlich zu einem kleineren, dessen Eckpunkte sind S, M1 = gesuchter Mittelpunkt der Kugel und T = Berührungspunkt der Kugel (bzw. des Umrißkreises) mit h1. Die Kugel habe den Radius r.
Bei beiden Dreiecken stimmen die Winkel an der Spitze S überein, daher ist jeweils das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypothenuse gleich (Sinus des Winkels):
3 : 5 = r : (4 - r)
Berechne jetzt r; M1 (der Mittelpunkt der Kugel) kann jetzt leicht ermittelt werden, indem man auf MS von M aus in Richtung S das r-fache des Einheitsvektors von MS aufträgt ...
Gr
mYthos |
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