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Schnittgerade von Ebenen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Schnittgerade von Ebenen « Zurück Vor »

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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 137
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Dezember, 2005 - 15:51:   Beitrag drucken

Hallo,

ich benötige etwas Hilfe bei der folgenden Aufgabe, da ich leider nicht weiß, wie ich da rangehen muss. Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!

Gruß Benny

Bestimme die Schnittgerade der Ebene E und der E: x=(2/2/2)+r(2/0/5)+s(1/2/3)

E:x=(5/6/1)+r(1/1/1)+s(1/0/0)
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Mathe1512 (Mathe1512)
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Benutzername: Mathe1512

Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 06-2005
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Dezember, 2005 - 16:16:   Beitrag drucken

Hallo!
Eigentlich ist das gar nicht so schwer! Du setzt die beiden Ebenengleichungen gleich; dabei ist aber zu beachten, dass du für die beiden r- und s-Werte jeweils einen Koeffizienten dazusetzt oder bei der 2. Ebene andere Variablen wählst. Hier heißt es also:
(2|2|2)+r(2|0|5)+s(1|2|3)=(5|6|1)+u(1|1|1)+v(1|0|0)

Das Ganze ist also ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen, aber vier Unbekannten (deshalb kann als Lösung auch eine Gerade herauskommen - ist wie bei einer normalen Gerade, die ist von zwei Variablen abhängig: x,y):

I 2+2r+s=5+u+v
II 2+ 3s=6+u
III 2+5r+3s=1+u

Dieses Gleichungssystem musst du jetzt auflösen!
mathe1512
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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Dezember, 2005 - 13:19:   Beitrag drucken

Hallo,

vielen Dank folgendes hab ich raus

r= -6/7
s= -5/7
k= -38/7

und was muss ich jetzt machen? Weil ich soll ja die Schnittgerade bestimmen...Irgendwas muss ich doch jetzt noch machen, oder?
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Mathe1512 (Mathe1512)
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Benutzername: Mathe1512

Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 06-2005
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Dezember, 2005 - 13:20:   Beitrag drucken

Hallo!
Was bitte ist k???
mathe1512
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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Dezember, 2005 - 14:04:   Beitrag drucken

Hallo,

sorry...ich meine damit u...ich hatte hier bei meiner Rechnung andere Variablen gewÜhlt
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Mathe1512 (Mathe1512)
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Benutzername: Mathe1512

Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 06-2005
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Dezember, 2005 - 16:07:   Beitrag drucken

Hallo!
Sollte das wirklich rauskommen, dann könntest du auch v berechnen. Und dann wäre die Schnittmenge der beiden Ebenen keine Gerade!
mathe1512
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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Dezember, 2005 - 16:20:   Beitrag drucken

Achso, d.h. also die Aufgabe ist nicht lÜsbar, also hat keine Schnittgerade oder wie?
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Mathe1512 (Mathe1512)
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Benutzername: Mathe1512

Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 06-2005
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Dezember, 2005 - 16:57:   Beitrag drucken

Hallo!
Also ich hab gerade ein bißchen rumprobiert und ich bekomme keine eindeutigen Werte für r, s, u und v heraus. Ich weiß nicht, wie du das gemacht hast.
Mein eines Ergebnis ist:
v=-2/3u-11/3
Und das ist auch eine Lösung für die Schnittgerade der beiden Ebenen!
mathe1512
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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 141
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Dezember, 2005 - 17:29:   Beitrag drucken

Hallo,

mein Rechenweg

Matrix aufstellen

2 1 -1 -1 3
0 2 -1 0 4
5 3 -1 0 -1

nachdem ausrechnen durch den TR kommt das raus

1 0 0 -1/7 -6/7
0 1 0 5/7 -5/7
0 0 1 10/7 -38/7

daraus lassen sich ja Gleichungen erstellen und zwar folgende

r=-6/7+1/7l
s=-5/7-5/7l
k=-38/7-10/7l

So und jetzt meine Frage,

wie muss ich jetzt denn weitermachen? Ich will doch eine Gleichung haben, oder nicht?

P.S. Ich hatte die falschen Werte hier gepostet, deshalvb das MissverstÜndnis! Sorry!
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1644
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Dezember, 2005 - 11:55:   Beitrag drucken

Hi,

in der ersten Antwort von Mathe1512 ist bereits der Lösungsweg vorgezeichnet. Allerdings hat er dann ein nicht ganz richtiges Statement hinsichtlich der Lösungsvariablen gemacht. Er darf die Parameter r, s, ... nicht mit den Variablen x, y durcheinanderbringen, muss also die Gleichungen in x, y, z sehr genau von der Parameterdarstellung auseinanderhalten. Eine Gerade in R3 (3-dimensionaler Raum) kann nicht in einer Gleichung in x, y wie etwa in R2 (x-y Ebene) dargestellt werden, das geht nur entweder mittels einer Parameterdarstellung (X = Ortsvektor zum Anfangspunkt + t* Richtungsvektor) oder eben 2 Gleichungen in x, y, z, welche zwei Ebenen darstellen.

Danach ist der Thread leider immer unübersichtlicher bzw. unverständlicher geworden, sodass ich mich zum Eingreifen veranlasst sehe.

Wir lösen also das angesprochene System in 4 Parametern so auf, dass einer der vier Parameter als beliebig wählbar angenommen wird und das System nach den anderen drei aufgelöst wird. Was herauskommt, ist eine einparametrige Lösungsmenge, das ist eben die Parameterform der Geraden in R3. Wir haben auch sicherzustellen, dass alle vier Parameter verschiedene Namen erhalten, nennen wir sie r, s, u, v.

Dann ist

I: (x =) 2 + 2r + s = 5 + u + v
II.: (y =) 2 + 2s = 6 + u
III.: (z =) 2 + 5r + 3s = 1 + u
--------------------------------
[Parameter r wird beliebig gewählt, s, u, v in r ausgedrückt]
III - II: 5r + s -5
I - II: 2r - s = v - 1
-----------------------------
7r = v - 6

v = 7r + 6
°°°°°°°°°°
s = -5r - 5
°°°°°°°°°°°°
u = -10r - 14
°°°°°°°°°°°°°°

Dies nun in x =, y =, z =; eingesetzt

x = -3r - 3
y = -10r - 8
z = -10r - 13
--------------

Damit ergibt sich die Gerade (Richtungsvektor mit (-1) multipl.)

X = (-3;-8;-13) + r*(3;10;10)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos
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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 142
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Dezember, 2005 - 12:48:   Beitrag drucken

Hallo,

tut mir Leid, dass verstehe ich Überhaupt nicht..Wir haben das bisher immer ganz anders gemacht, so wie ich das oben gemacht habe....

GruÜ Benny
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1645
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Dezember, 2005 - 14:26:   Beitrag drucken

Dein Weg unterscheidet sich im Endeffekt nicht von dem von mir dargelegten.

Deine Lösungen für r, s, k (ob sie richtig sind, habe ich jetzt nicht kontrolliert) setzt du nun in die Ebenengleichungen für x, y, z ein.

Tatsache ist, dass ein Parameter übrigbleibt (in deinem Fall l), dieser ist der Parameter in der Parametergleichung der Geraden. Wie eine Parametergleichung der Geraden funktioniert, ist dir hoffentlich schon bekannt?

P.S.: Verlasse dich nicht zu sehr auf den TR, du solltest dabei immer wissen, was du tust. Der TR stellt nur eine Hilfe dar, um langwierige (bzw. langweilige) Berechnungen abzukürzen.

(Beitrag nachträglich am 08., Dezember. 2005 von mythos2002 editiert)
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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 143
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Dezember, 2005 - 18:18:   Beitrag drucken

Hallo,

vielen Dank fÜr deine Hilfe. Ich habe es jetzt soweit gerechnet, wie ich es kann. Den Rest lasse ich mir Morgen in der Schule lieber nochmal vernÜnftig vom Lehrer erklÜren, damit will ich nicht sagen, dass eure erklÜren blÜd sind oder nicht hilfreich sind.


Vielen Dank fÜr die MÜhe!

Benny
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Witting (Witting)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 22:40:   Beitrag drucken

Hallo,

warum überführst du die Ebenen nicht gleich in die Koordinatenform?

Das sieht dann so aus:

E1: 10x1 - 11x2 + 4x3 = 6

E2: x2 - x3 = 5

Jetzt musst du nur noch die Normalenvektoren skalar multiplizieren, um zu sehen, ob die Ebenen orthogonal zueinander sind oder nicht:

(10;-11;-4) * (0,1,-1) = -15 => ungleich Null
-> Keine Orthogonalität, also müssten die Ebenen sich schneiden

Dann E2 nach x2 umstellen: x2= 5+ x3 und in E1 einsetzen

=> 10x1 - 11 ( 5+ x3) + 4x3 = 6
10x1 -55- 7x3 =6 |+ 55 + 7x3
10x1 = 61 +7x3 |:10
x1 = 61/10 + 7/10 *x3
Für x3 einen Parameterwert wählen, z.B
x3= 10r und einsetzen

=> x1= 61/10 + 7r

in x2 einsetzen: x2= 5+ 10r

Ordnen : x1= 61/10 + 7r
x2= 5 + 10r
x3= 0 + 10r

=> s:x = ( 6,1; 5; 0) + r* (7; 10; 10)
Gleichung der Schnittgerade

@ mythos: Leider hat sich bei die ein Tippfehler bei der Schnittgeraden eingeschlichen: Du hast 3r anstatt 7r geschrieben.

Gruss, K.
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Bennydendemann (Bennydendemann)
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Benutzername: Bennydendemann

Nummer des Beitrags: 144
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 23:04:   Beitrag drucken

Danke
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1687
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Veröffentlicht am Freitag, den 30. Dezember, 2005 - 00:28:   Beitrag drucken

@K

Nein, es bleibt dabei, das Ergebnis für den Richtungsvektor ist (3,10;10)!

Du hast bei der ersten Ebene (E1) einen Rechenfehler, denn deren Normalvektor ist (-10;-1;4) [der Normalvektor von (2;0;5) und (1;2;3)] und nicht (10;-11;4)!

Und: Warum dürfen E1 und E2 nicht orthogonal zueinander sein? Diese deine Behauptung ist unrichtig. Du meintest wohl, die Ebenen sollten nicht parallel sein, d.h. deren Normalvektoren nicht kollinear. Aber das wird nicht mit dem Skalarprodukt, sondern mit dem Vektorprodukt geprüft, dieses darf nicht gleich dem Nullvektor sein.

Gr
mYthos

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