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Beitrag |
    
Matheniete
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Dezember, 2005 - 14:38: | 
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Hallo, Ich soll die 2 Punkte mit dem geringsten Abstand berechnen.
die geraden sind (1 1 1)+ r(4 -2 -2)
und (1 0 1)+ s(1 1 0)
hab bestimmt schon 10 verschiedene Punkte und 5 verschiedene Abstände ausgerechnent 
Der Abstand muesste ungefaehr 1,5 sein, aber ich komm nie auf diesen Wert...
bitte helft mir |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1635
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Dezember, 2005 - 17:37: |
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Hi!
Die Verbindung dieser beiden Punkte (mit dem geringsten Abstand) heisst Gemeinlot. Es steht normal auf beide Geraden!
Die Geraden g, h sind nicht parallel, wir muessen nun die "Endpunkte" des Gemeinlotes, G auf der Geraden g und H auf der Geraden h, berechnen.
g : X = (1;1;1) + r*(2;-1;-1) .. [Richtungssvektor verkürzt]
h : X = (1;0;1) + s*(1;1;0)
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Der Richtungsvektor des Gemeinlotes ist der Normalvektor auf beide Geraden g, h und somit das Vektorprodukt deren beiden Richtungsvektoren.
N = (2;-1;-1) x (1;1;0) = (1;-1;3)
Um den Punkt G zu erhalten, ist eine Ebene E_h zu legen, die die Gerade h und den Normalvektor N enthält, und diese ist dann mit g zu schneiden.
Der Normalvektor dieser Ebene E_h ist wiederum das Vektorprodukt von N und dem Richtungsvektor der Geraden h, also (1;1;0) x (1;-1;3) = (-3;3;2)
(-3;3;2).X = c, c erhalten wir, wenn wir einen beliebigen Punkt von h einsetzen:
Ebene E_h:
(-3;3;2).(1;0;1) = c = -1
(-3;3;2).X = -1, Schnitt mit g:
-3*(1 + 2r) + 3(1 - r) +2(1 - r) = -1
-3 - 6r + 3 - 3r + 2 - 2r = -1
3 = 11r
r = 3/11 --> G -->
G( 17/11 | 8/11 | 8/11 )
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Auf analoge Weise kann H bestimmt werden, also Ebene Eg durch g, deren Richtungsvektoren sind (2;-1;-1) und N, deren Normalvektor (2;-1;-1) x (1;-1;3) = (4;7;1)
E_h:
...
Schnitt mit h
...
s = 7/11
...
H( 18/11 | 7/11 | 1 )
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Die Distanz GH = d = |(1/11; -1/11; 3/11)|
d = sqrt(11/121) = sqrt(1/11)
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Nun noch zu der Formel zur Ermittlung des Normalabstandes zweier windschiefer Geraden, ohne die Endpunkte G und H zu kennen:
d = |(A1 - A2).No|
A1, A2 sind die Ortsvektoren zu je einem beliebigen Punkt auf den beiden Geraden, No ist der normierte Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Der Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden zeigt in die Richtung des kuerzesten Abstandes dieser beiden Geraden (man nennt ihn eben auch: Gemeinlot).
Jetzt erinnert man sich an die Definition des skalaren Produktes zweier Vektoren a, b:
a.b = |a|*b_a, wobei b_a die Normalprojektion des Vektors b auf a ist.
Wenn man nun den Vektor A1A2, wobei A1 auf g und A2 auf h liegt, auf den normierten Normalvektor projiziert, erhalten wir genau den Normalabstand d.
Das skalare Produkt von No.(A1 - A2) ist |No| mal der Projektion von (A1 - A2) auf No, und da |No| = 1, ergibt sich exakt der Normalabstand
d = |No.(A1 - A2)|
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Für unser Beispiel ist
N = (2;-1;-1) x (1;1;0) = (1;-1;3)
No = (1;-1;3)/sqrt(11)
d = ((1;-1;3)/sqrt(11)).(0;1;0) = 1/sqrt(11)
Gr
mYthos |
Matheniete
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Dezember, 2005 - 20:08: |
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vielen Dank, hatte es zwischendrin mal so versucht, aber dachte das ergebnis sei falsch  |
Matheniete
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Dezember, 2005 - 21:38: |
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(1;1;0) x (1;-1;3) = (-3;3;2)
hast du hier mit absicht die vektoren vertauscht? eigtkl rechnest du ja doch andersrumm ... |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1639
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Dezember, 2005 - 22:12: |
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ja, stimmt, das Minus habe ich weggelassen bzw. die Vektoren vertauscht, das kannst du sehen wie du willst; die Orientierung ist ja für den Richtungsvektor unerheblich, ebenso wurden zur Vereinfachung der Rechnung - wenn möglich - die Richtungsvektoren um einen Faktor abgekürzt (das geht auch mit -1), es wird dadurch das Resultat der Berechnung nicht verändert. |
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