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Toasd (Toasd)
Mitglied
Benutzername: Toasd
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 15:13: | 
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hallo,
ich muss den binomischen Lehrsatz mit Hilfe des Galtonbretts herleiten.
kann mir da jemand helfen oder irgendwelche links geben/ bücher empfehlen?
danke schonmal!
gruss,
toasd |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. November, 2005 - 18:47: |
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Beim Galton-Brett rollt eine Kugel direkt auf einen Zapfen zu, so dass sie zu 50% nach links und zu 50% nach rechts weiter rollt. Auf jedem dieser beiden Wege ist wieder ein Zapfen, der die Kugel wieder zu 50% nach rechts und zu 50% nach links weiter schickt, so dass sie hier schon drei Wege hat (ganz links, ganz rechts und zwichen den Zapfen). In der nächsten Ebene sind 3 Zapfen, dann 4 usw.
Man könnte nun im Binomialsatz
(a + b)n = Sn k=0 (n über k) ak bn-k
den Faktor (n über k) als Anzahl der möglichen Wege zu einer bestimmten Stelle ansehen und um dorthin zu kommen jede Bewegung nach links mit dem Faktor a und jede Bewegung nach rechts mit dem Faktor b interpretieren.
Die Herleitung ist nun induktiv:
Wenn man sich z.B. auf der zweiten Ebene befindet (a2, 2ab, b2), so kann die Kugel entweder nach links weiter (a3, 2a2b, b2a) oder nach rechts weiter (a2b, 2ab2, b3). Zählt man diese 6 Ausdrücke zusammen, erhält man die Binomialsummanden der dritten Ebene/Potenz (a3, 3a2b, 3ab2, b3).
Bleibt noch zu zeigen, dass (n über k-1) + (n über k) = (n+1 über k), d.h. wenn man beim Pascal'schen Dreieck zwei benachbarte Zahlen zusammenzählt, erhält man die Zahl darunter.
Ein richtiger Beweis war das zwar nicht, aber du hast ja geschrieben, es soll hergeleitet werden. Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Gruß Dörrby |
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