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Nullstellenberechnung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Funktionen » Nullstellen » Nullstellenberechnung « Zurück Vor »

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ratlos
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 18. November, 2005 - 20:46:   Beitrag drucken

Hi!
Ich hab leider keine idee, wie ich bei einer funktion 5. grades die nullstellen berechnen kann. Hab es schon mit ausklammern sowie raten+polynomdivison versucht, aber ich bin zu keinem ergebnis gekommen. es wär nett wenn mir jemand bei dieser aufgabe helfen könnte:

f(x) = x4 -x3 -2x2 + x +1 (Die zahl hinter dem x soll immer der exponent sein!)
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ratlos
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 18. November, 2005 - 20:50:   Beitrag drucken

PS: Was würde ich denn machen wenn ich auch noch x hoch 5 dabei hätte?

*choas im kopf noch größer werd*
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Grandnobi (Grandnobi)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi

Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 19. November, 2005 - 06:48:   Beitrag drucken

Nun ratlos, da hilft nichts anderes als die ersten Nullstellen zu erraten. Als Tip solltest du dir immer den letzen Summanden (den ohne "x") angucken. Zumindest eine Nullstelle ist in der Regel ein Teiler des letzten Summanden.

Bei dieser Aufgabe ist das Raten aber nicht allzu schwer: Sowohl 1, als auch -1 können als Nullstelle geraten werden.

Beginnen wir mit xN1 = -1
d.h. Polynomdivison durch (x+1)

(x4 - x3 - 2x2 + x + 1) / (x + 1) = x3 - 2x2 + 1

Danach rät man xN2 = 1
d.h. Polynomdivion durch (x-1)

(x3 - 2x2 + 1) / (x - 1) = x2 - x - 1

Mit den Polynomdivisionen haben wir die Funktion demnach wie folgt umgeformt:

f(x) = (x4 - x3 - 2x2 + x + 1
f[x) = (x+1) (x-1) (x2 - x - 1)

Ein Produkt mehrerer Faktoren hat immer dann den Wert "0", wenn einer der Faktoren den Wert "0" hat.
Die Nullstellen aus den ersten beiden Faktoren haben wir bereits ermittelt. Die Nullstellen aus dem dritten Faktor kann man mit der p-q-Formel bestimmen.

xN3,4 = 0,5 +/- Wurzel(1,25)

... und um deine letzte Frage zu beantworten, wenn jetzt noch ein Glied mit x5 in der Funktionsgleichung gewesen wäre, so hätten wir halt einmal mehr raten müssen, und einmal mehr eine Polynomdivison durchführen müssen. Eine Lösungsformel für Nullstellen gibt es erst ab Funktionsgrad 2, d.h. x2. Aber sei beruhigt, in der Schule werden die Aufgeben schon so gestellt, daß man die benötigten "geratenen Nullstellen" auch wirklich erraten kann...

Gruß, grandnobi
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ratlos
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 19. November, 2005 - 12:50:   Beitrag drucken

danke für deine hilfe grandnobi!
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1607
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 19. November, 2005 - 13:05:   Beitrag drucken

Hallo,

die vorliegende Gleichung 4. Grades ist eine symmetrische Gleichung und kann somit exakt gelöst werden!

Dividieren durch x^2 (ungleich Null)

x^2 - x - 2 + 1/x + 1/x^2 = 0
x^2 + 1/x^2 - (x - 1/x) - 2 = 0

x - 1/x = u (Substitution)
dann ist
x^2 + 1/x^2 = u^2 + 2
dies in der Gleichung ersetzen:

u^2 + 2 - u - 2 = 0
u^2 - u = 0
u*(u - 1) = 0

u1 = 0
u2 = 1

Rücksubst.

x - 1/x = 0, daraus x1 = 1; x2 = -1

x - 1/x = 1
x^2 - x - 1 = 0, daraus x3, x4 wie angegeben

Gr
mYthos

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