    
Juliano (Juliano)
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Benutzername: Juliano
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Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. November, 2005 - 13:50: | 
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Hallo, ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe.
a) Gegeben sind die Vektoren X, Y, Z € R³ mit den Koordinaten X = (1-t; 3; 6), Y = (-3; -5-t; -6), Z = (3; 3; 4-t) mit t € R.
1. Bestimmen Sie für t solche Werte, dass X, Y, Z linear abhängig werden.
2. Bestimmen Sie für jede Lösung von t dim U_t mit U_t = <X, Y, Z> und geben sie jeweils eine möglichst einfache Basis an.
b) Betrachten sie folgende Definition:
Sei F eine lineare Abbildung von R³ nach R³.
Gegeben sei nun eine lineare Abbildung F: R³ -> R³, die sich durch die folgende Matrix M darstellen lässt:
M = 1 -3 3
3 -5 3
6 -6 4
Prüfen sie für die Vektoren A = (1; 1; 2), B = (1; 2; 1) und C = (1; 1; 1) € R³, ob es sich um Eigenvektoren von F handelt und bestimmen Sie gegebenfalls deren Eigenwert.
c) Sei nun Eig (F, t) = {X € R³ | F(X) = t * X} der Eigenraum von F bezüglich t.
1. Beweisen Sie: Die Menge Eig (F, t) ist Untervektorraum von R³.
2. Zeigen Sie: Sind zwei Eigenwerte t_1 und t_2 verschieden, so gilt Eig (F,t_1) Durchschnittswert oder umgekehrtes U Eig (F,t_2) = {0}
Die 0 hat einen Halbkreis oben, mir fällt nicht ein wie dieses Zeichen heißt.
Meine Lösungen:
a) 1. t_1 = -2 und t_2 = 4
2. t_1 = -2
U_-2 = 1
X = (3;3;6)
Y = (-3;-3;6)
Z = (3;3;6)
Basis hat einen Vektor (3;3;6) = (1;1;2)
X,Y,Z sind kolinear
t_2 = 4
U_4 = 2
X = (-3;3;6)
Y = (-3;-9;-6)
Z = (3;3;0)
linear abhängig, eine beliebige weglassen
Basis besteht aus 1/3 * X = 1/3 * (-3;3;6) = (-1;1;2)
-1/3 * Y = -1/3 * (-3;-9;-6) = (1;3;2)
b)M*A = (4;4;8) = 4*(1;1;2) Eigenwert = 4 A ist Eigenvektor von F t = 4
M*B = (-2;-4;-2) -2*(1;2;1) Eigenwert = -2 B ist Eiegnvektor von F t=-2
M*C = (1;1;4) kein Eigenvektor von F
c) habe ich leider keine Ahnung. |
