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Beitrag |
    
Johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Oktober, 2005 - 09:50: | 
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Hallo,
Aufgabe lautet wie folgend: Zeigen Sie, dass gilt für alle n e N: 9 teilt die Summe der dritten Potenz von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen.
Aussage:
9 teilt n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3
Induktionsanfang:
n = 1; 1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 (richtig)
Induktionsschritt:
Aussage wahr für k e N:
k^3 + (k+1)^3 + (k+2)^3 = 9x
k^3 = 9x - (k+1)^3 - (k+2)^3
k^3 = 9x - 2k^3 - 9k^2 - 15k - 9
jetzt muss ja gezeigt werden, dass auch für k+1 alels durch 9 teilbar ist:
(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3
= 3k^3 + 18k^2 + 42k + 38
-> k^3 ersetzen
= 3(9x - 2k^3 - 9k^2 - 15k - 9) + 18k^2 + 42k + 38
= 27x - 6k^3 - 27k^2 - 45k - 27 + 18k^2 + 42k +38
= 27x - 6k^3 - 9k^2 - 3k + 11
$$ = 9(3x - 2/3 * k^3 - k^2 - 1/3 * k + 11/9)
naja ich denk mal es liegt an einem Rechenfehler aber ich sehe ihn einfach nicht. |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2934
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Oktober, 2005 - 11:24: |
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wenn nicht Induktion verlangt ist:
n3+(n+1)3+(n+2)3 = 3*(n3+3n2+5n+3)
bleibt
also zu beweisen dass
n3+9n2+5n+3 durch 3 teilbar ist
was der Fall ist wenn
n3+5n = n*(n2+5) durch 3 teilbar ist
wass
sicher fuer n = 3m der Fall ist
sonst
ist zu zeigen dass
(3m±1)2+5 = 9m2±6m+1+5 durch 3 teilbar ist was der Fall ist
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaÜen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muÜ es einen Platz für Erraten, für plausibles SchlieÜen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg PÜlya]
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1934
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Oktober, 2005 - 11:47: |
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Hallo
Mit Induktion ist es auch nicht so schwer.
Hier nur mal der Induktionsschritt n->n+1:
(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3
=[n^3+(n+1)^3+(n+2)^3] + 9*[n^2+3n+3]
Damit bist du schon fertig. "Links" der Term ist nach Induktionsvoraussetzung durch 9 teilbar. "Rechts" der steht schon als Produkt mit Faktor 9 dort, also ist auch die Summe durch 9 teilbar.
MfG
Christian |
