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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 677
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Oktober, 2005 - 14:12: | 
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hallo,
ich bin weiter im skripts gegangen und jetzt stehe ich bei der aufgabe:
x²y''-2xy'+(x²+2)y=x^4
als erstes wollte ich nun die homogene gleichung lösen!
gut die partikuläre lösung hätte ich nicht gesehen, aber die wurde ja vorgegeben! wie bilde ich nun die ableitungen der funktion
y_h=x*sin(x)*z
ist das : z*(2cos(x)-xsin(x))+z'(sin(x)+xcos(x))
oder wie mache ich das?
detlef
(Beitrag nachträglich am 02., Oktober. 2005 von detlef01 editiert) |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Oktober, 2005 - 14:21: |
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ach nee ich glaube es ist
sin(x)*z+x*cos(x)*z+x*sin(x)*z'
richtig?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Oktober, 2005 - 14:30: |
|
Hi Detlef
Ja, deine Ableitung stimmt.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Oktober, 2005 - 14:40: |
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hmm ok, aber wenn ich jetzt die 2te noch bilde ist das ja eine ziemlich lange zeile, ist das aber der richtige weg?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Oktober, 2005 - 15:04: |
|
Hi Detlef
Stimmt, das wird ziemlich lang. Ist aber trotzdem der richtige Weg. Es sollte dann wie bei der anderen DGL das "z" wegfallen nach dem Einsetzen. Wenn es nicht wegfÜllt muss irgendwo ein Fehler drin sein.
Mfg
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Oktober, 2005 - 15:15: |
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hallo, also ich habe das alles eingesetzt und komme dann auf die Gleichung:
du/u = -2*cos(x)/sin(x) dx
also
ln|u| = -2* Int cot(x) dx
ist das korrekt?
das z ist weggefallen, es blieb nur noch z' und z'' übrig!
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Oktober, 2005 - 15:53: |
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Hi Detlef
Dein Ergebnis ist korrekt.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Oktober, 2005 - 11:53: |
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ok und ist u(x) dann:
u = 1/sin^2(x)
kann ich das mit einer substitution lösen? |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Oktober, 2005 - 13:08: |
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Hallo Detlef
1/sin2(x) ist die Ableitung von -cot(x).
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Oktober, 2005 - 20:56: |
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also dann ist ja die lösung des homogenen teils:
y=-x*sin(x)*cot(x) + x*sin(x)*c = -x*cos(x) +c*xsin(x)
jetzt mache ich mich mal an den inhomogenen teil!
detlef
(Beitrag nachträglich am 03., Oktober. 2005 von detlef01 editiert) |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Oktober, 2005 - 11:56: |
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Hi Detlef
Dir muss noch irgendwo eine Integrationskonstante verlorengegangen sein.
Ich erhalte
u(x)=C1/sin2(x) und daraus
z(x)=-C1*cot(x)+C2
Das "-" packen wir noch in das C1 womit sich dann
y(x)=x*sin(x)*(C1*cot(x)+C2)
ergibt bzw. etwas schöner
y(x)=C1*x*cos(x)+C2*x*sin(x)
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Oktober, 2005 - 20:14: |
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ja, ich glaube du hast den beitrag schon vor der änderung gelesen, hatte das noch verbessert, trotzdem danke!
aber ich kann die variation der konstanten nicht so wirklich...schon die lösund mit dem e^k*x ansatz kann ich nicht wirklich lösen!?!?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Oktober, 2005 - 21:54: |
|
Hi Detlef
Wo genau liegt denn das Problem? Bei Variation der Konstanten nimmst du statt deiner Konstanten in der homogenen Lösung Funktionen an. D.h. statt C1 nimmst du eine Funktion z1(x) an usw.
Das setzt du dann in die inhomogene DGL ein. Der komplette Rechenweg dafür steht im Beitrag 425 von Niels. Damit erhältst du dann das Gleichungssystem am Ende, woraus du z1(x) und z2(x) erhältst.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Oktober, 2005 - 15:00: |
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aber ich bekomme die homogene lösung der dgl nicht heraus!?!?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Oktober, 2005 - 15:10: |
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Hi Detlef
Die Lösung, die du oben berechnet hast, ist doch die Lösung der homogenen DGL. Also
y(x)=C1*x*cos(x)+C2*x*sin(x).
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Oktober, 2005 - 17:33: |
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also ich habe das so verstanden:
1)lösung der homogenen lin. DGL 2Ordnung
2)lösung der inhomogenen durch variation der konstanten
1) habe ich erledigt!
2)und muss ich hier jetzt die ableitung der lösung aus 1) bilden und noch eine funktion dazu multipizierne?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Oktober, 2005 - 18:13: |
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Hi Detlef
Zu 2)
Du hattest ja als Lösung
y(x)=C1*x*cos(x)+C2*x*sin(x)
Dort setzt du jetzt für die Konstanten die Funktionen z1(x) und z2(x) ein, die es zu bestimmen gilt. Sie sollen so gewählt sein, dass dann y die inhomogene DGL erfüllt.
Wie Niels beschrieben hat stellst du das Gleichungssystem
z'1y'1+z'2*y'2=x2
z'1y1+z'2*y2=0
auf, woraus sich z1 und z2 bestimmen lassen.
Hier ist y1=x*sin(x) und y2=x*cos(x) [aus der Lösung der homogenen DGL].
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Oktober, 2005 - 14:27: |
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wieso entsteht das gleichungssystem? ich hätte jetzt von x*sin(x)*z1(x) und vom anderen ergebnis die ableitung gebildet und in die dgl eingesetzt und so die andere lösung erhalten?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Oktober, 2005 - 19:38: |
|
Hi Detlef
Also wenn du y(x)=z1*y1+z2*y2 in die inhomogene DGL einsetzt, dann erhältst du folgenden Term:
f2(x)*[z1''*y1+2*z1'y1'+z2''y2+2z2'y2']+f1(x)*[z1'y1+z2'y2]=g(x)
Ist ein wenig Rechenarbeit mit den ganzen Ableitungen...
Die yi und zi wie oben und
f0(x)=x2+2
f1(x)=-2x
f2(x)=x2
g(x)=x4
Das sind die Terme aus der inhomogene DGL.
Unser Ziel war ja z1 und z2 zu bestimmen. Das ist aus der einzelnen Gleichung von oben noch nicht eindeutig möglich.
Wir stellen noch eine Zusatzbedingung, die unsere Gleichung oben extrem vereinfacht. Es soll gelten
z1'y1+z2'y2=0
Dann fällt der Term hinter dem f1(x) schonmal komplett weg.
Auch der nach dem f2(x) vereinfacht sich, denn
z1''y1+z1'y1'+z2''y2+z2'y2'
=(z1'y1+z2'y2)'=0
Damit vereinfacht sich die Gleichung von oben zu
f2(x)*[z1'y1'+z2'y2']=g(x)
Damit besteht unser Gleichungssystem aus den beiden Gleichungen
z1'y1+z2'y2=0
z1'y1'+z2'y2'=g(x)/f2(x)
Und das ist jetzt eindeutig lösbar.
Am besten du setzt in das Gleichungssystem mal die ganzen Sachen ein und versuchst das dann nach z1' und z2' aufzulösen.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Oktober, 2005 - 21:30: |
|
alles kalr, danke!
ich habe das doch richtig verstanden, dass man die ableitungen wieder durch die drei "faktoren regel" erhält oder?
wieso sol ldie zusatzbedingung eigentlich gelten?
d
etlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Oktober, 2005 - 16:15: |
|
Hi Detlef
ich habe das doch richtig verstanden, dass man die ableitungen wieder durch die drei "faktoren regel" erhält oder?
Also die Ableitungen ergeben sich hier alle aus der Produktregel.
wieso sol ldie zusatzbedingung eigentlich gelten?
Du brauchst irgendeine Zusatzbedingung damit deine Funktionen z1 und z2 eindeutig bestimmt sind.
Und das ist mit dieser Zusatzbedingung der Fall. Das liegt daran, dass die Vektoren (y1(x),y1'(x)) und (y2(x),y2'(x)) linear unabhängig sind!
Wäre dies nicht der Fall, so hättest du keine allgemeine Lösung deiner homogenen DGL.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Oktober, 2005 - 13:03: |
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woran sieht man, dass die gleichung unterbestimmt ist?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Oktober, 2005 - 14:06: |
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von diesem term muss ich doch die erste und 2te ableitung bilden oder:
y(x) = z1*x*sin(x)+z2*x*cos(x)
?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Oktober, 2005 - 14:16: |
|
Hi Detlef
woran sieht man, dass die gleichung unterbestimmt ist?
Du kannst oben als Zusatzbedingung z.B. auch
z1'y1+z2'y2=b
wählen für irgendein b aus IR und die wirst passende Funktionen z1 und z2 finden.
Daran siehst du ja schon, dass es verschiedene Lösungen unserer Gleichung gibt, wenn man sich nicht auf eine feste Zusatzbedingung festlegt.
Man wählt die von oben, weil sie am einfachsten ist und man damit am besten weiterrechnen kann.
von diesem term muss ich doch die erste und 2te ableitung bilden oder:
y(x) = z1*x*sin(x)+z2*x*cos(x)
?
Genau, ist halt viel Rechenarbeit. Würde ich an deiner Stelle auch nicht nochmal nachrechnen, weil es sehr unübersichtlich ist.
Wir haben das ja oben schon allgemein gemacht. Du kannst im Prinzip jetzt bei dem Gleichungssystem weitermachen. Da musst du nur die erste Ableitung von y1(x)=x*sin(x) und y2(x)=x*cos(x) bilden.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Oktober, 2005 - 20:32: |
|
gut, vielen dank! versuche das mal so grob nachzurechnen um es zu verstehen!
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Oktober, 2005 - 17:09: |
|
soo eine frage stellt sich mir immer noch, wie hast du durch hinschauen diese partikuläre lösung "geseehen"?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Oktober, 2005 - 16:35: |
|
ich hatte mich dazu entschieden das nochmal genau nachzurechnen und komme dann auf:
2z1'*cos(x)-2z2'sin(x)+z1''sin(x)+z2''cos(x)=x
das stimmt ja noch nicht so ganz überein, woran liegt das?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Oktober, 2005 - 15:57: |
|
bitte kann mir so kurz vorm ziel keiner helfen?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. November, 2005 - 12:14: |
|
Hi Detlef
Sorry, dass es so lange gedauert hat. Hab nur im Moment kaum Zeit fürs Forum hier.
Aber deine Gleichung oben ist richtig. Du hast nur zu viel zusammengefasst. Du kannst sofort nachrechnen, dass sie mit
x2*(z1''x*sin(x)+2z1'(sin(x)+x*cos(x))+z2''x*cos(x)+2z2'(cos(x)-x*sin(x)))-2x*(z1'x*sin(x)+z2'x*cos(x))=x4
übereinstimmt. Das ist die Form von oben. Die "rechte Klammer" gleich 0 ist die Zusatzbedingung. Damit vereinfacht sich auch die "Linke Klammer".
soo eine frage stellt sich mir immer noch, wie hast du durch hinschauen diese partikuläre lösung "geseehen"?
Schwer zu sagen 
Man schaut halt was irgendwie passen könnte und probiert ein bißchen rum.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. November, 2005 - 17:14: |
|
hallo, okay, also man darf das nur so weit zusammenfassen, dass die zusatzbedingung noch übrig bleibt!
ich weiss wie man jetzt die linke vereinfacht, aber wie kommst du auf diese bedingung:
z1''y1+z1'y1'+z2''y2+z2'y2'
=(z1'y1+z2'y2)'=0
das hat ja nix mit der zsatzbedingung zu tun!
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. November, 2005 - 18:28: |
|
Hallo Detlef
Doch, das hat was mit der Zusatzbedingung zu tun.
Die Zusatzbedingung sagt ja, dass
z1'y1+z2'y2=0 gilt. Dann ist natürlich auch die Ableitung gleich Null. Und die Ableitung ist eben
z1''y1+z1'y1'+z2''y2+z2'y2'
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. November, 2005 - 17:21: |
|
okay ist gut,
x^2*(z1''x*sin(x)+2z1'(sin(x)+x*cos(x))+z2''x*cos(x)+2z2'(cos(x)-x*sin(x)))-2x*(z1'x*sin(x)+z2'x*cos (x))=x^4
aus der gleichung bleibt ja noch:
z1'y1'+z2'y2'=g(x)/f2(x)
übrig!kann ich das andere(mit der zusatzbedingung) einfach aus der gleichung herausnehmen, da es null ist? und übrig bleibt das doch, weil es 2mal vorhanden war oder?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. November, 2005 - 18:14: |
|
hallo,
also die beiden gleichungen lauten dann ja:
1)z1'*cos(x)*x+z2'*sin(x)*x=0
2)z1'[cos(x)-sin(x)*x]+z2'[sin(x)+cos(x)*x]=x^2
dann habe ich die 1) nach z1' aufgelöst und in 2) eingesetzt!
=>z2'[sin^2(x)+cos^2(x)]=x*cos(x)
=>z2'=x*cos(x)
und daraus folgt dann:
z1'=-x*sin(x)
ist das soweit korrekt?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. November, 2005 - 18:04: |
|
Hi Detlef
okay ist gut,
x^2*(z1''x*sin(x)+2z1'(sin(x)+x*cos(x))+z2''x*cos(x)+2z2'(cos(x)-x*sin(x)))-2x*(z1'x*sin(x)+z2'x*cos (x))=x^4
aus der gleichung bleibt ja noch:
z1'y1'+z2'y2'=g(x)/f2(x)
übrig!kann ich das andere(mit der zusatzbedingung) einfach aus der gleichung herausnehmen, da es null ist? und übrig bleibt das doch, weil es 2mal vorhanden war oder?
Genau!
hallo,
also die beiden gleichungen lauten dann ja:
1)z1'*cos(x)*x+z2'*sin(x)*x=0
2)z1'[cos(x)-sin(x)*x]+z2'[sin(x)+cos(x)*x]=x^2
dann habe ich die 1) nach z1' aufgelöst und in 2) eingesetzt!
=>z2'[sin^2(x)+cos^2(x)]=x*cos(x)
=>z2'=x*cos(x)
und daraus folgt dann:
z1'=-x*sin(x)
ist das soweit korrekt?
Ja, stimmt auch. Jetzt noch beide Funktionen integrieren(Integrationskonstante nicht vergessen), dann sollte das richtige Ergebnis rauskommen.
Musst dabei noch ein klein wenig aufpassen, weil du die Bezeichnungen ein bißchen geändert hast. Also bei dir ist jetzt y1=x*cos(x) und y2(x)=x*sin(x).
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. November, 2005 - 13:01: |
|
hallo,
ich muss doch dann z1 und z2 in
y= z1*x*cos(x)+z2*x*sin(x) einsetzen oder?
also da kommt ein sehr langer term heraus!
es soll doch y=x^2+x*cos(x)+x*sin(x) herauskommen oder?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
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Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. November, 2005 - 13:09: |
|
Hi Detlef
Ja, stimmt. Du rechnst z1 und z2 aus und setzt das ein. Da kürzt sich ein Teil raus.
Am Ende bleibt dann nur noch
y=x^2+C1*x*cos(x)+C2*x*sin(x)
stehen, wobei C1 und C2 die Integrationskonstanten sind, die du bei Integration von z1' und z2' erhältst.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
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Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. November, 2005 - 13:22: |
|
alles klar, wunderbar! habe alles hinbekommen!
vielen vielen dank für deine hilfe ud geduld, war mir ja schon unangenehm!
detlef |
