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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 124
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. September, 2005 - 17:38: | 
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Hallo,
Wie schon im Titel angedeutet, soll ich eine Gleichung der Ebene durch A ( 2;3;4) und
B( 6;5;16), welche vom Ursprung den Abstand 2 hat, bestimmen.
Also, kenne ich eigentlich 3 Punkte:
A( 2,3;4)
B(6;5;16)
O(0;0;0)
d=2
Könnte ich nicht einfach die Ebene folgendermaßen aufstellen:
E:x= (0;0;0) + r(-2;-3;-4) + s(-6;-5;-16)
bestimmen des Normalenvektors n:
I. -2n1 -3n2-4n3= 0
II. -6n1-5n2-16n3 = 0
n=( -7;2;2)
=> E: -7x +2y + 2z = 0
Abstand berechnen: ( muss =2 sein)
d= ( -7x +2y + 2z - 0)/ ( sqrt (7^2 + 2^2 +2^2))
d= (-7x +2y +2z)/ ( sqrt 57)
Hmm, aber irgendwie, hab ich jetzt was falsch gemacht, denn es kommt nicht der Abstand 2 raus?!
Vielen Dank im Voraus,
K. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1436
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. September, 2005 - 23:19: |
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Deine Ebene geht nicht durch den Koord. Ursprung
Du weißt damit aber folgendes:
der 3te Punkt der Ebene liegt auf einer zur geraden orthogonalen Ebene, welche durch den Ursprung geht;
e: 2x + y + 6z = 0
diese Ebene schneiden wir mit der Geraden, welche durch die 2 gegebenen Punkte bestimmt ist;
g: x = (2; 3; 4) + t(2; 1; 6)
2(2+2t) + (3+t) + 6(4+6t) = 0
31 + 41t = 0
t = -31/41 <-- sehr schöner Bruch 
Q( 2 - 62/41 | 3 - 31/41 | 4 - 186/41 )
Q( 20/41 | 2 10/41 | -22/41 )
Q liegt sowohl auf der Orthogonalebene als auch auf der gesuchten Ebene
P( s | -2s - 6t | t )
P ist der 3te Punkt der gesuchten Ebene, welcher den Abstand 2 vom Ursprung haben soll und auch auf der Orthogonalebene liegt;
daher genügt es die Gerade PQ so mit der Kugel k zu schneiden, daß nur 1 Schnittpunkt (Tangentenpunkt) existiert; (2 Lsg.)
k: x^2 + y^2 + z^2 = 2^2
Q( 20/41 | 2 10/41 | -22/41 )
P( s | -2s - 6t | t )
g: x = ( 20/41; 92/41; -22/41 ) + u( 20/41 - s; 92/41 + 2s + 6t; -22/41 - t )
dies ergibt in die Komponenten zerlegt:
x = 20/41 + u( 20/41 - s )
y = 92/41 + u( 92/41 + 2s + 6t )
z = -22/41 + u( -22/41 - t )
diese in die Kugelgleichung eingesetzt ergibt:
[ 20/41 + u( 20/41 - s ) ]^2 + [ 92/41 + u( 92/41 + 2s + 6t ) ]^2 + [ -22/41 + u( -22/41 - t ) ]^2 = 2^2
dies ist jetzt als GLeichung in u zu betrachten, und dabei soll die Lsg.-menge für u nur eine Doppellsg. sein; bevor ich weiterrechne bringe ich den seltsamen Nenner von 41 weg
[ 20 + u( 20 - 41 s ) ]^2 + [ 92 + u( 92 + 82s + 246t ) ]^2 + [ -22 + u( -22 - 41t ) ]^2 = 6724
das ist jetzt einiges an Rechnerei, welche dich schlußendlich zu folgendem Ausdruck bringt, nachdem Du die Quadrat. Gleichung nach u ansetzt:
u = ( -b +/- sqrt( D ) ) / (2a), und D muß 0 sein
D = 228 + 328s + 84s^2 + 1148t + 764st + 1417t^2
228 + 328s + 84s^2 + 1148t + 764st + 1417t^2 = 0
nach s aufgelöst ergibt das:
einmal s = 1/42 * (-38 - 109t)
einmal s = 1/2 * (-6 - 13t)
das setzt Du in Punkt P ein und hast den nur noch von t abhängend;
P1( -19/21 - 2t - 25t/42 | 38/21 - 17t/21 | t )
P2( -3 - 13t/2 | 6 + 7t | t )
die beiden Punkte P in die Kugelgleichung eingesetzt, ergibt für t bei P1 den Wert t = -2/19 als Doppellsg. und für t bei P2 den Wert t = -2/3 als Doppelsg.
P1( -12/19 | 36/19 | -2/19 )
P2( 4/3 | 32/3 | -2/3 )
damit kannst dann die Gleichungen der beiden Ebenen bestimmen;
irgendwie grauenhaft, was da für Zahlen rauskommen 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1549
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. September, 2005 - 00:59: |
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Uff, da hat Mainzi (schon zum 2. Mal bei derselben Aufgabe) aber gerackert, aber lohnt sich die Muehe eigentlich?
@Mainzi
@K.
Wir hatten das Beispiel schon einige Male, das letzte Mal am 3. September, die Frage wurde sogar ebenfalls von dir, K., gestellt!
@K.
Du bekommst von mir wiederum dieselbe Antwort, einfach deswegen, weil sie einen effizienteren Weg darstellt.
Ich finde es allerdings unangebracht, wenn (noch dazu vom selben Fragesteller) gleichlautende Fragen - eventuell in Erwartung moeglichst verschiedener Antworten - mehrmals gestellt werden, oder das Forum nicht zuerst durchsucht wird.
Wie ist es denn mit der in
http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/show.cgi?25/358516
gezeigten Methode? Hast du den Weg dabei vielleicht nicht ganz verstanden oder fehlen dir die Grundlagen dazu?
Gr
mYthos |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1438
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. September, 2005 - 06:40: |
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Uff, da hat Mainzi (schon zum 2. Mal bei derselben Aufgabe) aber gerackert, aber lohnt sich die Muehe eigentlich?
is ma gar nicht aufgefallen 
(Beitrag nachträglich am 27., September. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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