| Autor |
Beitrag |
    
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. September, 2005 - 17:25: | 
|
Hallo,
Wäre echt nett, wenn mir jemand den Ansatz verraten könnte:
Der Punkt A ( 4;1;6) liegt auf keiner der zueinander windschiefen Geraden
g:x = (2;1;5) + t(1;0;-1) und
h:x = ( 2;3;3) + r( 1;2;1)
Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden k durch A, die g und h schneidet.
Mein Ansatz:
A ( t+2 ; 1; t-5)
B ( r+2; 2r+ 3; r+3)
AB = ( t-r; 2t+2; 2t+r-2)
Normalerweise würde ich jetzt den Vektor AB mit den Richtungsvektoren der Geraden skalar multiplizieren und ein Geleichungssystem erhalten:
I. -t- 2r = -2
II. 7t = -2
t= -2/7
r= 8/7
Wenn ich jetzt t in g:x und r in h:x einsetzen würde, dann erhalte ich zwei Punkte.
Wie bringe ich aber den vorgegebenen Punkt A in die Gleichung k ein?
Vielen Dank im Voraus,
K. |
Tux87 (Tux87)
Senior Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 540
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. September, 2005 - 22:06: |
|
grÜÜ dich:
ich wÜrde Ag und Ah als jeweils einen Vektor aufstellen und dann testen, wann diese Vektoren lin. abhÜngig sind.
Ich weiÜ leider nicht genau, ob es funktioniert, aber ich wÜrde es halt so versuchen
mfG
Tux
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1548
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. September, 2005 - 23:55: |
|
Hi,
folgen wir einmal deinem Ansatz.
Du kannst nicht noch einen weiteren Punkt namens A annehmen, wenn doch schon ein Punkt A existiert, der nicht auf g oder h liegt. Das fuehrt zu Missverstaendnissen. Bezeichne die Punkte auf g und h, die die gesuchte Gerade enthalten, lieber mit P1, P2.
Ausserdem ist (t+2; 1; t-5) falsch. Aus der Angabe wuerde vielmehr (t+2; 1; -t+5) folgen!
Und auch den Vektor (AB) hast du verkehrt berechnet (AB = B-A und nicht A-B ! Es heisst ja Ortsvektor im Endpunkt minus Ortsvektor im Anfangspunkt).
Ein weiterer Fehler ist, dass dessen mittlere Koordinate 2r + 2 und nicht 2t + 2 lauten muss.
Und trotz des Fehlers bei t-5 ist dennoch die Differenz durch einen weiteren Fehler nochmals falsch.
Du musst unbedingt sorgfaeltiger rechnen, sonst verdirbst du dir eventuell richtigen Ansaetze.
Es ist dann P1P2 = (r-t; 2r+2; r+t-2)
So. Was soll nun die skalare Multiplikation von P1P2 mit den Richtungsvektoren von g und h ergeben? Ich nehme an, das, was du nicht dazu gesagt hast, naemlich 0! Das stimmt aber nur dann, wenn P1P2 auf beiden Geraden normal steht. Das muss aber hier nicht der Fall sein und ist es auch nicht!!
Es wuerden sich naemlich P1(3;1;4) und P2(5/3; 7/3; 8/3) ergeben. Die Gerade P1P2 steht dann zwar auf beiden Geraden senkrecht, geht aber nicht durch A.
Ueberlege dir nochmals die Angabe. Die Gerade soll lediglich g und h schneiden, von normal stehen ist nichts gesagt und schon gar nichts von einem kuerzesten Abstand.
Verwerfen wir also das alles und versuchen die Idee von Tux87 weiter zu entwickeln.
Denn jetzt kommt der Punkt A ins Spiel.
Wir berechnen AP1 und AP2 und fordern, dass diese beiden Vektoren kollinear (in einer Geraden liegend, d.h. parallel bzw. linear abhaengig, das bedeutet hier alles das Gleiche) sind.
AP1 = (-2 + t; 0; -1 - t)
AP2 = (-2 + r; 2 + 2r; -3 + r)
Da die beiden Vektoren nun kollinear sein sollen, sind ihre Komponenten zueinander proportional (Faktor k, ungleich Null):
-2 + t = k*(-2 + r)
0 = k*(2 + 2r)
-1 - t = k*(-3 + r)
---------------------
Das ist nun ein lin. Gl.Syst. mit 3 Variablen!
Aus der 2. Zeile folgt sofort r = -1 (k <> 0)
danach
t = 5/7; k = 3/7
Mit r und t erhalten wir nun die gesuchten Punkte P1 auf g, P2 auf h, damit auch die gesuchte Gerade. Bitte rechne selbst weiter.
...
g: X = (1;1;2) + s*(3;0;4)
Dass der Punkt A auf dieser Geraden liegt, ueberpruefen wir, indem wir A in X einsetzen und nach s aufloesen: s = 1 in allen 3 Zeilen.
Gr
mYthos |
|
