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ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Abitur » Sonstiges » Ebenen « Zurück Vor »

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Pathologin (Pathologin)
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Neues Mitglied
Benutzername: Pathologin

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2005
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. September, 2005 - 16:17:   Beitrag drucken

Ich hab diese Aufgabe auf, habe schon versucht sie zu rechnen...aber ich komm damit irgendwie nicht klar. Vielleicht könnt ihr mir ja ein paar Ratschläge geben.

Gegeben ist der Würfel ABCDEFGH mit der Seitenlänge 6. M sei der Mittelpunkt des Vierecks BCGF. [A(6/0/0) und G(0/6/6)]
a)In welchem Punkt S schneidet die Gerade g durch A und M das Dreieck BCE??
b) In welchem Punkt T trifft die Parallele p zur Kante AB durch M das Dreieck BCE??
c) Schneidet die Gerade h durch M und D das Dreieck?
d)In welchem Verhältnis teilt S die Strecke MA?

Meine Fragen:
1. Muss ich mit A und G eine Geradengleichung aufstellen? Wenn ja, wie bringt es mich weiter beim Rechnen?


Danke
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1537
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. September, 2005 - 18:38:   Beitrag drucken

Hi,

nein, die Gerade ist durch A und M aufzustellen, und diese mit der Ebene BCE zu schneiden!

Es sind

B(6;6;0)
C(0;6;0)

M der Mittelpunkt der Strecke BG, somit M(3;6;3)

Kommst du jetzt weiter?

Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1539
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. September, 2005 - 16:36:   Beitrag drucken

Hallo!

Weitere Rechnungen zu a):

Die Gerade g = AM stellst du in der Parameterform auf: Anfangspunkt A, Richtungsvektor AM = (-3;5;-3) = 3*(-1;2;1)

somit
g: X = (6;0;0) + t*(-1;2;1)

Von der Ebene BCE bestimmst du zunächst 2 Richtungsvektoren:

EB = (0;6;-6) -> (0; 1;-1)
EC = (-6;6;-6) -> ((1;-1;1)

Ebene in Parameterform:

X = (0;6;0) + r*(0;1;-1) + s*(1;-1;1)

g und Ebene schneiden: Entweder beide Parametergleichungen gleichsetzen und die 3 Gleichungen, die durch die x-, y- und z-Komponenten enstehen, nach r, s, t auflösen, oder die Ebene zuerst parameterfrei machen. Dann lautet die Ebene

y + z = 6

[Hinweis: Der Normalvektor der Ebene mittels des Vektorproduktes von
(0;1;-1)*(1;-1;1) ermittelt, liefert (0;1;1) = N.
In der Normalvektorgleichung N.X = c wird c berechnet, indem ein Punkt der Ebene eingesetzt wird, es ist c = 6. Somit ist wiederum die Gleichung der Ebene

y + z = 6
°°°°°°°°°

Darin nun für y und z die Werte der Parameterform der Geraden einsetzen:

2t + t = 6
t = 2
°°°°°

Das ergibt schließlich den Punkt S = (6;0;0) + (-2;4;2) = (4;4;2)

Vielleicht hilft dir das nun für die Bewältigung der anderen Aufgabenpunkte.

Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1540
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. September, 2005 - 16:40:   Beitrag drucken

Der Vollständigkeit halber hier noch ein paar per Mail übermittelte Einzelheiten, auch für die anderen Leser dieses Forums:

Wenn du die Ebenengleichung und die Geradengleichung gleichsetzt, bekommst du NICHT die Ebenengleichung, sondern gleich die Bedingung für den Schnittpunkt. Das sind 3 Gleichungen in r, s und t, je eine für die x-, y- und z-Zeile:

s = 6 - t
6 + r - s = + 2t
- r + s = + t
-------------------
2. u. 3. Zeile add.

6 = 3t
t = 2; das genügt eigentlich schon, den rechts (wie links) stehen ja schon die Koordinaten des Schnittpunktes:

6 - t = 4
2t = 4
t = 2

S(4;4;2)
°°°°°°°°

Natürlich kann man auch noch r und s berechnen (Kontrolle):

s = 4; r = 2

Die (parameterfreie) Gleichung der Ebene
y + z = 6

erhält man durch Eliminieren der Parameter r, s in der Ebenengleichung. Also diese zeilenweise anschreiben:

x = s
y = 6 + r - s
z = - r + s
----------------
2. und 3. addieren:
y + z = 6
°°°°°°°°°°
Es bleibt x = s, denn x kann jeder beliebige Wert sein (die Ebene ist nämlich parallel zur x-Achse).

Gr
mYthos

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