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Zahlenfolge Definition

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Folgen und Reihen » Zahlenfolge Definition « Zurück Vor »

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Mrknowledge (Mrknowledge)
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Benutzername: Mrknowledge

Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. September, 2005 - 11:48:   Beitrag drucken

Hi,

eine Zahlenfolge ist ja als eine Abbildung von N nach R (reelle Zahlenfolge) definiert. Der Gedanke der Anordnung klingt bei dieser Definition meiner Meinung nicht raus. Es kommt doch bei einer Zahlenfolge auf die Anordnung der Glieder an. Warum ist diese Definition dann so allgemein gehalten. Man könnte doch noch den Zusatz machen, daß die Odnung von N gemeint ist und nicht eine willkürliche Anordnung.

Meine Frage also: Warum ist diese Definition so gemacht?
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1533
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. September, 2005 - 12:04:   Beitrag drucken

Hi!

Die Zahlenfolge ist durch die Zuordnungsvorschrift

f(n) = a_n
f: n -> a_n

festgelegt. Durch die Zuordnungsvorschrift wird jedem n € N eindeutig ein a_n = f(n) zugeordnet. Damit ist gleichzeitig auch die Anordnung der Glieder bestimmt.

1 -> a_1
2 -> a_2
3 -> a_3
4 -> a_4
...
n -> a_n

Gr
mYthos
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Mrknowledge (Mrknowledge)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Mrknowledge

Nummer des Beitrags: 81
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. September, 2005 - 08:52:   Beitrag drucken

Hi,

aber wenn man ganz spitzfindig wäre, könnte man sagen, dann muß auch irgendwo definiert werden, dass man a1 als erstes Glied ansieht und alle weiteren als Nachfolger. Das ist ja nur Vereinbarung, oder nicht?

MfG
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1911
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. September, 2005 - 12:10:   Beitrag drucken

Hallo

Eine Folge ist doch erstmal wie schon gesagt nur eine Abbildung der natürlichen in die reellen Zahlen(oder in irgendeine andere Menge).
Für die Definition wäre es sinnlos irgendwas über eine Reihenfolge oder Anordnung zu sagen, auch wenn es von der Vorstellung her natürlich so ist, dass a1 vor a2 kommt usw.

Sobald du dann aber zu Konvergenzuntersuchungen bei Folgen übergehst kommt auch die Ordnung von IN ins Spiel bei den Definitionen, wodurch sich dann ja im Prinzip die von dir geforderte Ordnung der Folgenglieder ergibt.

MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1435
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. September, 2005 - 12:35:   Beitrag drucken

es gibt übrigens auch noch die sogenannten rekursiv definierten Folgen

sowas z.B.:
a_0 = 2
a_1 = 7
a_2 = 13
a_3 = 17
a_<n+1> = sqrt(a_<n>) + sin(a_<n-1>) + cos(a_<n-2>) + e^(a_<n-3>) mit n aus IN \ {1,2}

[von dieser rekursiv definierten Folge, denk ich mal, daß es unmöglich ist eine explizite Definition anzugeben]

und ob das "erste" Folgenglied a_<0> lautet oder a_<1> ist dabei egal;

ein weiteres Beispiel:

a_<0> = 0
a_<1> = 1
a_<n+1> = a_<n> + a_<n-1> mit n aus IN

von dieser kennen wir eine explizite Definition (Fibonacci-Folge):
a_<n> = 1/sqrt(5) * [ ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n ]

Beweisen kann man diese explizite Formel mittels vollständiger Induktion, aber für die Herleitung an Hand der rekursiven Definition gibt es kein festgesetztes Verfahren;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mrknowledge (Mrknowledge)
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Benutzername: Mrknowledge

Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. September, 2005 - 15:33:   Beitrag drucken

@christian:

"Für die Definition wäre es sinnlos irgendwas über eine Reihenfolge oder Anordnung zu sagen"

Aber ist es nicht genau diese Reihenfolge, die Folgen von Mengen bzw. beliebigen Abbildungen unterscheidet? Deshalb bin ich schon der Meinung, daß die Reihenfolge wichtig ist. Welche Definition bezieht sich denn auf die Ordnung? Bei Konvergenzuntersuchungen wird doch meistens bezug auf die Epsilon Umgebung genommen...

Oder sehe ich das falsch?

MfG
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1912
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. September, 2005 - 15:54:   Beitrag drucken

Hallo

Also Folgen und Mengen sind ja zwei völlig verschiedene Dinge.
Folgen sind Abbildungen und damit auf Mengen definiert.
Ich glaube du verwechselst da die Menge der Folgenglieder mit der Folge selbst.

Beispiel:
Sei an=1/n
Dann ist die Funktion f: IN->IR, n->1/n
die Folge.
Die Menge der Folgenglieder ist
{1,1/2,1/3,...}={1/n|n aus IN}

Hier ist die Menge noch unendlich.
Hast du z.B. an=a , also eine konstante Folge, so ist die Menge der Folgenglieder nur {a}, also endlich, obwohl du unendlich Folgenglieder hast.

Nun zur Konvergenz.

Man definiert, dass eine Folge an gegen a konvergiert, wenn für alle e>0 ein N aus IN existiert mit
|an-a|<e für n³N.

Hier meinte ich jetzt den letzten Teil n³N.
Damit wird ja im Prinzip ausgedrückt, dass die Folgenglieder für großen Index nahe bei a liegen müssen und auf die "ersten" Folgenglieder wird kein Wert gelegt. Jedenfalls kommt hier die Ordnung der natürlichen Zahlen vor.

MfG
Christian

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