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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 656
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 17:34: | 
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Berechnen sie eine allgemeine Lösung der hom. lin. DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, unter der Bedingung D=a²-4b=0 mit hilfe des Verfahrens der "Variation der Konstanten"!
diese aufgabe habe ich aus einem kurs hier aus dem forum!
mir ist aber nicht ganz klar, wie ich das nun mache, also die Gleichung lautet ja:
y''+ay'+by=0
wie gehts das nun weiter?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1432
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 17:56: |
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an Hand der Bedingung gilt dann b = a^2/4
y = e^(Px + Q)
y' = P*e^(Px + Q)
y'' = P^2*e^(Px + Q)
P^2*e^(Px + Q) + aP*e^(Px + Q) + a^2/4*e^(Px + Q) = 0
damit das gilt, gilt auch
(P^2 + aP + a^2/4) = 0
<=>
(P + a/2)^2 = 0
<=>
P = -a/2
damit dann:
y = e^(-a/2x + Q)
additive Konstanten des Exponenten sind multiplikative der ganzen Potenz, daher
y = C * e^(-a/2x)
und weiter
y' = -C * a/2*e^(-a/2x)
y'' = C * a^2/4*e^(-a/2x)
C * a^2/4*e^(-a/2x) - C * a^2/2*e^(-a/2x) + C * b*e^(-a/2x) = 0
C * e^(-a/2x) [ a^2/4 - a^2/2 + b ] = 0
C * e^(-a/2x) [ -a^2/4 + b ] = 0
C * e^(-a/2x) [ a^2 - 4b ] = 0
wie man das C weg bringt weiß ein anderer 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1904
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 18:23: |
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Hallo Detlef
Benutze den allgemeinen LÜsungsansatz
y(x)=C*exp(r*x) mit C,r ungleich 0.
Eingesetzt in die DGL ergibt sich
C*(r^2+a*r+b)*exp(r*x)=0
<=> r^2+a*r+b=0
Mit D=0 folgt r=-1/2*a.
Also hat man die LÜsung
y(x)=C*exp(-1/2*a*x)
Die LÜsung kann noch nicht allgemein sein, weil man nur einen freien Parameter hat, fÜr eine DGL 2. Ordnung braucht man aber immer zwei.
Also benutzen wir Variation der Konstanten. Das bedeutet wir fassen C also Funktion C(x) in x auf und setzen y wieder in der DGL ein. Man erhÜlt
y'(x)=[C'(x)-1/2*a*C(x)]*exp(-1/2*a*x)
y''(x)=[C''(x)-a*C'(x)+1/4*a^2*C(x)]*exp(-1/2*a*x)
und das eingesetzt in die DGL liefert:
[(b-1/4*a^2)*C(x)+C''(x)]*exp(-1/2*a*x)=0
<=> C''(x)=0
<=> C(x)=C1*x+C2
Also ist die allgemeine LÜsung der DGL gegeben durch
y(x)=(C1*x+C2)*exp(-1/2*a*x)
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 657
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 19:25: |
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was genau heißt denn Variation der Konstanten?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1905
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 22:21: |
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Hallo Detlef
Das bedeutet, dass du eine Konstante als Funktion annimmst(Hier C). D.h. die Konstante ist eigentlich keine Konstante mehr. Sie wird variiert.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 658
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. September, 2005 - 12:28: |
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ok danke, aber wieso ist c''(x) = 0?
detlef
(Beitrag nachträglich am 15., September. 2005 von detlef01 editiert) |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1906
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. September, 2005 - 13:36: |
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Hallo Detlef
Ich schÜtze mal du meinst, warum aus
[(b-1/4*a^2)*C(x)+C''(x)]*exp(-1/2*a*x)=0
folgt, dass C''(x)=0 ist.
Klar wird die Exponentialfunktion nie 0, also kannst du die schonmal streichen.
Weiter ist b-1/4*a^2=-1/4*D=0 nach Voraussetzung.
Übrig bleibt also C''(x)=0.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 659
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. September, 2005 - 14:02: |
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ah schon klar!danke
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 660
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. September, 2005 - 15:35: |
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so jetzt hab ich nochmal ne frage !
zu D < 0
als beispiel hab ich y''+4y'+13=0
dann kommt man mit e^(k*x) als ansatz zu:
k= -2+-3i
was ist denn jetzt alpha und was ist beta?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
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Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. September, 2005 - 15:46: |
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und wie kann man die komplaxen basen in reelle umwandeln?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. September, 2005 - 17:06: |
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Hallo Detlef
Benutze die Eulerformel
ei*x=cos(x)+i*sin(x).
Dann nimmst du Realteil und Imaginärteil als reelle Lösungen der DGL. Hier also:
y(x)=C1*e-2x*sin(3x)+C2*e-2x*cos(3x)
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 19. September, 2005 - 18:43: |
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ok, danke!
wie kommt es zu dieser eulerformel?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1908
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. September, 2005 - 18:50: |
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Hallo Detlef
Kennst du die Taylor-Reihen der Exponential-, Sinus- und Cosinus-Funktion?
Aus den Rechenregeln für (absolut) konvergente Reihen folgt dann sofort die Eulerformel.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 663
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. September, 2005 - 13:52: |
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ok danke |
