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Eckpunkte eines Dreiecks berechnen / ...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Eckpunkte eines Dreiecks berechnen / konstruieren « Zurück Vor »

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1790
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 16:50:   Beitrag drucken

Hi,

gegeben sind die Punkte:

Ma = (3/2)
Mb = (-1/1)
Mc = (1/-1)

Dies sind die Mittelpunkte der Seiten a,b,c eines
Dreiecks A,B,C.

Kann man A,B und C aus den drei gegebenen Punkten
eindeutig berechnen bzw konstruieren?

Ich scheitere daran...daher bitte ich um eure Hilfe. Ich vermute ja mal, das man dies nicht kann, bzw das es mehrere Lösungen gibt.

Wie seht ihr das?

mfg
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2914
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 17:14:   Beitrag drucken

als Vektoren
a) Ma = (B + C)/2
b) Mb = (A + C)/2
c) Mc = (B + A)/2
d.h. Komponentenweise
a) xB + xC = 6 .. (2*3)
a) yB + yC = 4
b) xC + xA = -2
b) yC + yA = +2
c) xB + xA = +2
c) yB + yA = -2
das sollte loesbar sein
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaÜen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muÜ es einen Platz für Erraten, für plausibles SchlieÜen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg PÜlya]
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1422
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 17:27:   Beitrag drucken

Danke Fritz, an das dachte ich auch,
dann schauen wir mal :-)

xB + xC = 6
xC + xA = -2
xB + xA = 2

-2 xA = 6 <=> xA = -3
=> xB = 5
=> xC = 1


yB + yC = 4
yC + yA = 2
yB + yA = -2

-2 yA = 4 <=> yA = -2
=> yB = 0
=> yC = 4


A(-3|-2), B(5|0), C(1|4)




wie würde es aussehen, daß Dreieck mit der Angabe zu konstruieren?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 17:27:   Beitrag drucken

hallo, Ferdi,
verbindet man bei einem Dreieck die Seitenmittelpunkte, so erhält man ein neues Dreieck. Die Seiten dieses Dreiecks sind zu den Seiten des ursprünglichen Dreiecks parallel und halb so lang.


Herzliche Grüße
elsa
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1423
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 17:33:   Beitrag drucken

sind der Umkreis und der Kreis welcher entsteht, wenn ich die Seitenhalbierungspunkte als Dreieck nehme und davon den Umkreis konstruiere zufällig konzentrisch?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Grandnobi (Grandnobi)
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Benutzername: Grandnobi

Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 18:19:   Beitrag drucken

Mein Ansatz wäre zu sagen, daß der Punkt A auf der Geraden Ma Sa liegen muß, der Punkt B auf der Geraden Mb Sb und der Punkt C auf der Geraden Mc Sc.
Sa sei der Mittelpunkt von MbMc; Sb und Sc analog.
Damit ist das gesuchte Dreieck leicht zu konstruieren.

drei
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1424
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 18:27:   Beitrag drucken

so wie ich des jetzt seh, gehts einfach mit 3 mal
parallel verschieben

MbMa ist parallel zu AB
MbMc ist parallel zu BC
MaMc ist parallel zu AC
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 19:10:   Beitrag drucken

@mainzi:
genau so geht's!

grandnobi liegt hier falsch!

@all:
Die beiden Dreiecke haben einen Punkt gemeinsam:
Der Höhenschnittpunkt des „kleinen Dreiecks“ (Seitenmittendreiecks) ist zugleich
der Umkreismittelpunkt des „großen Dreiecks“.
Beweis:
Wir umschreiben einem gegebenen Dreieck ABC das Dreieck A’B’C’,
indem wir durch A, B und C Parallele zu den Gegenseiten ziehen.
B’C=AB=CA’ (Parallelogramme!), daher ist C die Mitte von A’B’,
A die Mitte von B’C’ und B die Mitte von A’C’.
Daher sind die Höhen in ABC die Seitensymmetralen in A’B’C’.
Diese haben aber einen Punkt gemeinsam, somit auch die Höhen in ABC!

Am besten ist, man macht dazu eine Zeichnung.

herzliche Grüße
elsa
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Grandnobi (Grandnobi)
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Benutzername: Grandnobi

Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 19:37:   Beitrag drucken

Elsa,

nachdem ich das Dreieck erfolgreich konstruiert habe, finde ich die Behauptung

"grandnobi liegt hier falsch!"

doch ziemlich gewagt. Sagt mir doch, an welcher Stelle, Du meinen "Fehler" siehst.

Gruß, grandnobi
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 134
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 20:13:   Beitrag drucken

Hallo, grandnobi,
es tut mir leid, aber aus Deiner Zeichnung werde ich nicht ganz schlau!
Wie kommst Du auf den gezeichneten Umkreis?
Deine Linien sind die Schwerlinien, die sich in einem Punkt,
dem Schwerpunkt schneiden.
Wenn Du aber meinen Beitrag gelesen hast,
dann erkennst Du, dass es sich um die Höhen im kleinen Dreieck handeln muss.
Die Konstruktion geht so, wie Walter es beschrieben hat.
Die entsprechenden Seiten müssen parallel sein.
Zur Kontrolle kannst Du ja die berechneten Eckpunkte A, B, C mit Deiner Zeichnung vergleichen, ob sie übereinstimmen.
Mehr kann ich dazu nicht sagen.

Gruß von elsa
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1425
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 20:31:   Beitrag drucken

ist auch gewagt, weils richtig ist;

elsa du liegst hier mit der Behauptung: "grandnobi liegt hier falsch" eindeutig daneben;

und daß sich das mit dem gemeinsamen Punkt auch so verhält kann nur so sein, wenn sich die Euler'schen Geraden decken, denn es gilt
vect(HS) = 2 * vect(SU) und die Schwerpunkte sind tatsächlich ident; Schwerpunkt = Streckungszentrum

AMa = 6SSa
ASa = 3SSa
SMa = 2SSa
SA = 4SSa

analog mit den anderen Schwerlinien;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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oder auch verwirren kann *ggg*
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1516
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 20:51:   Beitrag drucken

Hallo allseits,

in Grandnobi's Zeichnung ist m.E. kein Fehler. Dort wurde die Aufgabe einfach mittels Schwerlinien bzw. dem Strahlensatz geloest. Der Umkreismittelpunkt gehoert allerdings dort nicht hin, dieser und die von elsa (zwar richtig) beschriebene Wechselbeziehung mit den Hoehen erscheint fuer die Loesung der Aufgabe nicht notwendig.

Gr
mYthos
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1426
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 20:59:   Beitrag drucken

@mYthos is auch der Schwerpunkt
der Umkreismittelpunkt ist hier gar nicht eingezeichnet
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Grandnobi (Grandnobi)
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Benutzername: Grandnobi

Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 21:07:   Beitrag drucken

Elsa, es war natürlich auch ein gemeiner Trick von mir, eine Formulierung der Art "der Rest ist leicht zu konstruieren" zu verwenden. Tatsächlich war eine noch eine kleine Transferleistung zu erbringen ;-)

Ich habe die Konstruktion selbstverständlich genauso ausgeführt, wie Mainzi sie beschrieben hat. Meine Skizze zeigte ursprünglich auch den Höhenschnittpunkt des kleinen Dreiecks. Nur …, auf diesem Weg konnte ich die Richtigkeit der Konstruktion nicht unmittlebar beweisen!
Daher habe ich den Umweg über die Schwerlinien gewählt und die Skizze entsprechend abgeändert. Mit Schwerlinien und Strahlensatz kann man mit einfachen Mitteln einen Beweis aufbauen. Die Eckpunkte des Dreiecks hätte man dann z.B. dann über den Satz konstruieren können, daß sich die Seitenhalbieren eines Dreiecks im Verhältnis 2:1 teilen.
Der dargestelle Umkreis hat mit dieser Konstruktion überhaupt nichts zu tun, den habe ich nur ermittelt, um die Zeichnung zu überprüfen. Das Wissen, daß der Schwerpunkt eines Dreiecks nicht der Umkreismittelpunkt ist, habe ich dabei als trivial vorausgesetzt.

Gruß,
grandnobi

(Beitrag nachträglich am 09., September. 2005 von grandnobi editiert)
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1517
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. September, 2005 - 23:20:   Beitrag drucken

Conclusio:

Vom gegebenen Dreieck Ma Mb Mc ausgehend, erhaelt man sofort die Punkte A, B und C auf zwei Arten:

ENTWEDER verlaengert man die Schwerlinien (Seitenhalbierenden) nach der anderen Seite um dieselbe Strecke (erhaelt also A durch Punktspiegelung an Sa: MaSa = ASa, B, C analog)

ODER es wird jeweils durch einen Eckpunkt die Parallele zur gegenueberliegenden Seite gelegt, das sind bereits die Seiten des gesuchten Dreieckes und diese schneiden sich in A, B und C.
Letztere Methode wurde ja von Mainzi schon beschrieben, und dazu braucht man nicht einmal die Schwerlinien.

Gr
mYthos
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1791
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 10. September, 2005 - 14:26:   Beitrag drucken

Hallo,

ich danke euch allen für eure Antworten!

Da sieht man mal, wie die ersten beiden Semester
des Studiums jemanden von so einfachen Sachen hier, so entfremdet.

mfg

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