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Tinimaus86 (Tinimaus86)
Junior Mitglied
Benutzername: Tinimaus86
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. September, 2005 - 08:03: | 
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Hallo,
da wir gerade 9 Abituraufgaben in Mathe lösen müssen, habe ich an einigen Stellen Probleme:
1 Aufgabe:
1.2 Zeigen sie, dass die Ebene E 2x+y-z=4 eine Ebene der Schar Ek, vektor x* (22-4k;11+7k;-11-k)=4+34k k element R, darstellt und ermitteln Sie den zugehörigen Parameter k.
Gibt es in der Ebenenschar Ek eine zu E senkrechte Ebene? Begründen sie ihre Antwort.
1.3 Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgerade g zwischen E0 und E-3 und weisen sie nach, dass sich auch alle anderen Ebenen der Schar in g schneiden.
g: vektor x= (-1;4;-2)+t*(-3;-3;-9) (Ergebiss, welches ich raus habe)
Das sind die Teilaufgaben, die ich nicht konnte, hoffe es kann mir jemand helfen! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1510
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. September, 2005 - 14:11: |
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Hi,
Angabefehler! Die Schar heisst
X*(22 - 4k; 11 + 7k; -11 - k) = 44 + 34k !
Zu zeigen ist also, dass
E: (2;1;-1)*X = 4
Element der Schar
(22 - 4k; 11 + 7k; -11 - k)*X = 44 + 34k
ist.
Die Koeffizienten der Gleichung für E sind bis auf einen Faktor t proportional (weil der Vektor (2;1;-1) beliebig verlängert werden kann (auf der rechten Seite ebenfalls mit t multiplizieren). Ausserdem ist dieser Vektor parallel zu (22 - 4k; 11 + 7k; -11 - k), wenn E der Schar angehören soll.
2t*x + t*y - t*z = 4t
Somit müssen die mittels Koeffizientenvergleich erstellten Gleichungen
1.: 22 - 4k = 2t
2.: 11 + 7k = t
3.: -11 - k = -t
4.: 44 + 34k = 4t
allsesamt eine eindeutige Lösung für k und t haben.
Wir sehen sofort, dass alle Gleichungen für k = 0 und t = 11 erfüllt sind.
Denn aus 1. und 2*2. folgt: 22 - 4k = 22 + 14k
k = 0; t = 11
Diese Werte erfüllen auch 3. und 4.
Probe: In der Schargleichung k = 0 setzen:
(22 - 4k; 11 + 7k; -11 - k)*X = 44 + 34k
(22;11;-11)*X = 44 |:11
(2;1;-1)*X = 4 .. d.i. die Gleichung von E
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 07., September. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1511
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. September, 2005 - 14:25: |
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Falls eine Ebene der Schar senkrecht auf E stehen sollte, steht ihr Normalvektor senkrecht zu dem Normalvektor von E, das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist dann Null. Die entsprechende Gleichung lautet dann:
(22 - 4k)*2 + (11 + 7k)*1 + (-11 - k)*(-1) = 0
44 - 8k + 11 + 7k + 11 + k = 0
66 + 0*k = 0
Diese Gleichung hat demzufolge für k KEINE Lösung, also gibt es auch keine Ebene der Schar, die normal zu E steht.
Gr
mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1512
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. September, 2005 - 15:43: |
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Nun zum Ende:
E(0): (2;1;-1)*X = 4
E(-3): (17; - 5;-8)*X = -58
----------------------------
2x + y - z = 4 |*(-4) |+
17x - 5y - 4z = -29
-------------------------
9x - 9y = -45
x - y = -5
Setze y = t, daraus: x = -5 + t und z = -14 + 3t
Somit g: X = (-5; 0; -14) + t*(1;1;3)
Der Richtungsvektor in deinem Ergebnis ist also richtig, auch dein Anfangspunkt (er ist eben nur ein anderer der vielen möglichen auf der Geraden).
Nun ist noch zu zeigen, dass alle Ebenen der Schar g beeinhalten, also ein Ebenenbüschel mit g als Büschelachse bilden.
Dazu setzen wir in der Schargleichung für x, y, z die entsprechenden Werte der Geraden ein, es muss sich eine Identität ergeben!
(-22 - 4k; 11 + 7k; -11 - k)*(-5 + t; t; -14 + 3t) = 44 + 34k
Die linke Seite der Gleichung muss also den Wert 44 + 34k annehmen:
-110 + 20k + 22t - 4kt + 11t + 7kt + 154 + 14k - 33t - 3kt =
= 44 + 34k
[Die t und kt - Glieder reduzieren sich zu 0]
w.z.z.w (was zu zeigen war).
Gr
mYthos |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 131
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. September, 2005 - 17:49: |
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hallo, mYthos,
in Deinem Beitrag um 16:43, hier:
Nun zum Ende:
E(0): (2;1;-1)*X = 4
E(-3): (17; - 5;-8)*X = -58
----------------------------
hat sich ein kleiner Tippfehler eingeschlichen:
es müsste wohl heißen:
E(-3): (34; -10; -8)*X = -58
liebe Grüße
elsa |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1513
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. September, 2005 - 19:03: |
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Nun, bei mir ist tatsächlich ein Tippfehler (die weitere Rechnung ist dennoch richtig) - danke!
Zunächst lautet die Ebene
E(-3): (34; -10; -8)*X = -58
dann wird durch 2 gekürzt
es folgt
E(-3): (17; -5; -4)*X = -29
------------------------------
Gr
mYthos |
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