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Berechnung von Nullstellen/Extrempunk...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Differentialrechnung » Kurvendiskussion » Berechnung von Nullstellen/Extrempunkte/Wendepunkte..Hilfe ! « Zurück Vor »

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Bianka
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 09:09:   Beitrag drucken

Wollte heute mal paar Aufgaben zur Nullstellenbestimmung machen (zur Wiederholung, da ich bald eine Klausur schreibe), aber irgendwie habe ich wohl eine Blockade:

Ich habe hier zwei Aufgaben:

1. x^3-3x^2+4 / x^2-4 */* =Bruchstrich

Dabei sollen Nullstellen,Extreme,Wendepunkte und Asymptoten berechnet werden.

2. x^3 - 2,25x + 6,75 / x^2 - 9

Bei dieser Aufgabe müssen nur die Nullstellen berechnet werden.

Ja ja, die Aufgaben scheinen nicht so ganz schwer zu sein, aber ich weis einfach nicht was ich da machen soll (Mathe liegt nicht jedem ^^ )

Kann mir bitte jemand helfen und dabei erklären was gemacht wurde (also mit Rechenweg etc.).

Danke !
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2902
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 09:45:   Beitrag drucken

wÜrdest Du bitte ZÜhler/Nenner klammern wenn
sie aus mehreren Termen bestehen.(
oder Mathdraw verwenden.
2 MÜgliche Interpretationen detr 1ten aufgabe
liefern Gleichungen 5ten Grades die keine "schÜnen"
LÜsungen haben, die 2te wohl auch
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaÜen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muÜ es einen Platz für Erraten, für plausibles SchlieÜen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg PÜlya]
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Bianka
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 09:56:   Beitrag drucken

Oh entschuldige, dachte dass man es so auch versteht ^^

Also die erste Aufgabe sieht so aus:

1. (x^3-3x^2+4) / (x^2-4) (das ganze ist ein Bruch)
Ausgesprochen: (x hoch 3 - 3x hoch 2 + 4) durch (x hoch 2 - 4)

2. (x^3 - 2,25x + 6,75) / (x^2 - 9)
Also, (x hoch 3 - 2,25x + 6,75) / (x hoch 2 - 9)
(Auch ein Bruch)

Bei der ersten sollen wie gesagt "Nullstellen,Extreme,Wendepunkte und Asymptoten berechnet werden" und bei der zweiten nur "Nullstellen".

Hoffe, dass du (bzw. jdm. anders) mir da behilflich sein könnte, danke :-)
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Bianka
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:07:   Beitrag drucken

PS: Hier die Aufgaben mit "matheraw"

1. http://mathdraw.hawhaw.net/md.php?input=%28%28x%5E3-3x%5E2%2B4%29%29+%2F+%28%28x%5E2-4%29%29

2. http://mathdraw.hawhaw.net/md.php?input=%28x%5E3+-+2%2C25x+%2B+6%2C75%29+%2F+%28%28x%5E2+-+9%29%29

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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2903
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:47:   Beitrag drucken

ok, Danke fÜr Deine MÜhe
(Mathdraw braucht Dez.punkt statt Dez.komma )
1)
0stelle ist Nenner0stelle wenn dort nicht auch
eine ZÜhler0stelle ist.
Durch probieren mit den Teilern des konstanten
Gliedes 4, also +-1, +-2, +-4 findet man als
1te 0stelle x = -1;
durch Polynomdivision findet man dann dass
der
Zaehler (x+1)*(x2-4x+4) = (x+1)*(x-2)2 ist,
und
da der Nenner = (x+2)(x-2) ist wird durch kuerzen
f(x) = (x+1)(x-2)/(x+2)
mit den
0stellen -1,+2 .
Neuerliche
Polynomdivision f(x) = (x2- x - 2) : (x+2) = x-3 - 4/(x+2)
Zeigt
dass fuer |x| --> oo f(x) zu x-3, der Asymptote wird;
an
der Polstelle x = -2 ist gibt es eine Senkrechte Asymptote.
-------
f' = 1 + 4/(x+2)2,
die f' 0stelle und damit die Extrema, kannst Du sicher
selbst bestimmen;
f"=-8/(x+2)3 hat keine "0stelle" also gibt's keinen Wendepunkt
============================
2.
das hat leider auch so keine "schÜne" 0stelle,
bist Du sicher, das die Angabe stimmt?
----------------------
Übriegens kannst Du von Mathdraw auch eine Komplette
Kurvendiskussion bekommen - um's mit Deinen Ergebnissen
zu vergleichen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaÜen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muÜ es einen Platz für Erraten, für plausibles SchlieÜen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg PÜlya]
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Tux87 (Tux87)
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Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 528
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:54:   Beitrag drucken

Das mit dem Bruchstrich ist schon klar, aber gilt der fÜr alles oder nur fÜr 4/xÜ???
Ich geh mal davon aus, dass er fÜr alles gilt...

Nullstellen:
x^3-3x^2+4=0 ist erstmal nur wichtig -- Nenner wird erst spÜter betrachtet
die erste Nullstelle musst du raten (versuchs mit den Teilern von 4)
x1=1 -- geht nicht
x1=-1 -- geht!
(x^3-3x^2+4)/(x+1)=x^2-4x+4
x^2-4x+4 ist die binomische Formel 2 fÜr (x-2)^2
daher ist x2=x3=2

nun musst du deine Ergebnisse in den Nenner einsetzen und es darf NICHT 0 herauskommen:
x^2-4!=0 |x=-1
1-4!=0
-3!=0 -- x=-1 ist eine Nullstelle
x^2-4!=0 |x=2
4-4!=0
0!=0 -- Widerspruch, daher ist x=2 KEINE Nullstelle

Extrema:
Nun musst du das Ganze ableiten:
(u/v)=(u'v-v'u)/vÜ
f'(x)=((3x^2-6x)(x^2-4)-(2x*(x^3-3x^2+4)))/(x^2-4)^2
f'(x)=(3x^4-12x^3-6x^3+24x-2x^4+6x^3-8x)/(x^2-4)^2
f'(x)=(x^4-12x^2+16x)/(x^2-4)^2
Das wird jetzt noch gekÜrzt (x-2)^2:
f'(x)=(x^2+4x)/(x+2)^2
f'(x)=0
(x^2+4x)/(x+2)^2=0
x^2+4x=0
x1=0 & x2=-4
f''(x)=8/(x+2)Ü
f''(0)=1 1>0, daher lok. Minimum
f''(-4)=-1 -1<0, daher lok. Maximum

Wendepunkte:
f''(x)=0 -- geht nicht, daher keine Wendepunkte

Asymptoten:
Nenner gleich 0 setzen:
x^2-4=0
x1=2
x2=-2
x1 war aber schon beim Nenner gleich 0 und ist damit keine Asymptote
x2 ist aber eine

zu 2. -- es gibt nur eine Nullstelle:
x*(4x^2-9)=-27
x=-2,28
mfG
Tux
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Bianka
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:19:   Beitrag drucken

Vielen Dank für die Hilfe .
Mich haben nur die Brüche irritiert, denn sonst hätte ich die Gleichung 0 gesetzt (bzw. Polynomdivision verwendet), aber so war ich mir unsicher und wusste nicht wie ich vorgehen soll

Ich guck' mir das ganze jetzt nochmal an, bei Fragen melde ich mich zurück :-)

Danke nochmal euch beiden !.

MfG
Bianka
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Bianka
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:42:   Beitrag drucken

Habe mal hier eine nette Seite gefunden :
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm

Dabei zeigt mir das Programm als Nullstellen für Aufgabe 1) -1 und 2,00000001
Aufgabe 2) -2,28...

@Tux87: Also gibt es bei Aufgabe zwei anscheinend doch eine zweite Nullstelle (2,bzw. 2,00000001).

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