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Raziel3003 (Raziel3003)
Neues Mitglied
Benutzername: Raziel3003
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 13:46: | 
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Moin an alle Schlaumeier!
Kann mir jemand erklären was der "Pol" einer Funktion f(x) ist???
Dankeschön |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2891
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 15:42: |
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dort wo fuer endliches x -> x0 |f(x)| --> oo
gilt.
Nicht jede Funktion muss Polstellen haben,
meist spricht man von Polstellen bei "gebrochenen"
Funktionen derern Nenner 0 werden kann wenn dort
nicht auch der ZÜhler 0 wird.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaÜen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muÜ es einen Platz für Erraten, für plausibles SchlieÜen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg PÜlya]
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1388
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. August, 2005 - 23:51: |
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zur Unterscheidung:
- es gibt Polstellen mit Vorzeichenwechsel:
z.B. bei f(x) = 1/(x-1) an der Stelle 1
f(x) = tan(x) sei als Beispiel erwähnt für eine periodische Fkt., welche ebenfalls Polstellen mit Vorzeichenwechsel periodisch an den Stellen, pi/2, 3pi/2, 5pi/2 bzw. allgemein (2k+1)pi/2 mit k aus den ganzen Zahlen hat;
im Netz findest auch sehr viel unter dem Begriff
"Oszillationsstelle", so werden diese Form der Polstellen auch genannt;
- und Polstellen ohne Vorzeichenwechsel:
z.B. bei f(x) = 1/x^2 an der Stelle 0
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Raziel3003 (Raziel3003)
Neues Mitglied
Benutzername: Raziel3003
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2005
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. August, 2005 - 19:22: |
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Hmm, also ist beispielsweise bei f(x)=1/x^2 der Pol die 0, weil die 0 nicht Element der Funktion sein kann??? |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1389
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. August, 2005 - 20:42: |
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bei gebrochen rationalen Fkt. hast Du mal grundsätzlich an den Nullstellen des Nenners sogenannte Definitionslücken; und genau an diesen Lücken kann ein Pol sein, und zwar genau dann, wenn diese Nullstelle mind. einmal weniger oft Nullstelle des Zählers ist; ist sie gleich oft Nullstelle des Zählers, spricht man von sogenannten hebbaren Lücken;
z.B. f(x) = (x+1)^2/(x^2-1)
hier hast Du mal 2 Definitionslücken, eine bei x = +1 und bei bei x = -1; in dem Fall ist jeder linearfaktor (x-1) und (x+1) genau einmal;
im Zähler hast Du den Linearfaktor (x+1) aber 2mal; sodaß er sich einmal mit dem einem vom Nenner weghebt und einmal bleibt, also (x+1)/(x-1), daher bleibt x = +1 als Pol mit Vorzeichenwechsel zurück und x = -1 als Nullstelle der ganzen Fkt.
z.B. f(x) = (x^2-1)^2/(x^4-1)
hier hast Du 2 Definitionslücken, x = +1 und x = -1, der Zähler hat die selben Linearfaktoren (x-1) und (x+1) aber jeweils 2mal, sodaß
f(x) = (x^2-1)/(x^2+1) übrigbleibt; und siehe da, es gibt keine Polstelle, denn x^2+1 wird in IR nie 0;
für die Definitionsmenge gilt in beiden Beispielen, die Grundmenge, welche die Def.lücken ausgeschlossen sind; also D = IR \ {+1, -1}
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1390
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. August, 2005 - 20:47: |
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Nachtrag: sind die Nullstellen des Nenners weniger oft im Nenner als im Zähler dann handelt es sich um hebbare Lücken, welche glzt. Nullstelle der gesamten Fkt. sind;
und das erst nach einer expliziten Definition, weil ja die Ursprungsfkt. an diesen Stellen nicht definiert ist;
ein anderes Beispiel:
f(x) = (x^2-1)/(x^3-1)
hier ist sowohl im Nenner als auch im Zähler der Linearfaktor (x-1) genau einmal vorhanden;
es bleibt:
f(x) = (x+1)/(x^2+x+1), und hier wird eine Definition für f(1) gemacht; f(1) := 2/3; Pol hat diese Fkt. ebenfalls keinen, denn x^2+x+1=0 hat in IR keine Lsg.; an der Stelle x = -1 hat f(x) die Nullstelle;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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