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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. August, 2005 - 18:15: | 
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Hallo,
Gegeben sind die zueinander windschiefen Geraden g und h. Man soll einen Richtungsvektor u der Geraden k, die zu g und h orthogonal verläuft, bestimmen.
g:x= (1;8;-9) + t*(4;1;-1)
h:x= (-2;1;5) +t*(4;1;-1)
Mein Ansatz:
Othogonalen Richtungsvektor bestimmen (mit Hilfe zweier Gleichungssysteme)
n= ( 1,4;8) => u, da der Richtungsvektor u gleich dem Normalenvektor ist.
k:x=( 1;8;-9) + t*(1;4;8)
Wenn ich die Gerade k, die den Richtungsvektor u hat, aufstelle, kann ich da einfach einen Punkt der Geraden g (oder h) nehmen?
b) Dann soll man die Schnittpunkte A und B der Geraden k mit g und h bestimmen.
Ich hab zwar g:x und k:x gleichgesetzt, d.h. auch einen Schnittpunkt A ( 1;8;-9) raus.
Bei h:x und k:x funktioniert es nicht.
Hab ich vllt. den falschen Ansatz?
Vielen Dank im Voraus,
K.
(Hoffe ich hab euch jetzt nicht verwirrt) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1386
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. August, 2005 - 19:06: |
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deine 2 Geraden sind übrigens parallel; und somit existiert keine Gerade, auf welche die kürzeste Verbindung dieser beiden Geraden liegt;
einzig die Bestimmung des Richtungsvektors "einer" der vielen Geraden, welche zu beiden Geraden orthogonal ist, ist möglich;
g: x = (1;8;-9) + r*(4;1;-1)
h: x = (-2;1;5) + s*(4;1;-1)
[(1;8;-9) + r*(4;1;-1) - (-2;1;5)] * (4;1;-1) = 0
[(3;7;-14) + r*(4;1;-1)] * (4;1;-1) = 0
(3;7;-14)(4;1;-1) + r*(4;1;-1)(4;1;-1) = 0
12 + 7 + 14 + r*6 = 0
33 + r*6 = 0
r = -33/6 = -11/2 = -5 1/2
daher:
(1;8;-9) - 5,5*(4;1;-1) - (-2;1;5) =
(3;7;-14) - (22;5,5;-5,5) =
(3;7;-14) + (-22;-5,5;5,5) = (-19; 1,5; -8,5)
ist der gesuchte Vektor
|(-19; 1,5; -8,5)| wäre der Normalabstand
sqrt(361 + 2,25 + 72,25) = sqrt(361 + 74,5) = sqrt(435,5) ~ 20,87
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. August, 2005 - 19:57: |
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@mainziman:
Bin gar nicht drauf gekommen mal die relative Lage der Geraden zu untersuchen. Handelt sich wohl um einen Druckfehler in dem Aufgabentext.
Traotzdem Danke,
K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1485
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. August, 2005 - 22:09: |
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Hallo K.,
jenen Vektor, der orthogonal auf beiden Richtungsvektoren (g, h) steht, bestimmt man besser mittels des Vektor-( bzw. Kreuz-)Produktes. Allerdings ist Voraussetzung dafuer, dass ein eindeutiger Normalvektor existiert, dass die beiden Geraden nicht parallel sind. Ansonsten - wie in dieser Angabe - gibt es unendlich viele, die in einer Normalebene auf die beiden (parallelen) Geraden liegen. Einen (beliebigen) davon hast du zwar mit (1;4;8) bestimmt, es waeren jedoch unendlich viele andere moeglich gewesen, z.B. (1;0;4) .. .
@Mainzi
.. es existieren schon Geraden, auf welchen die kuerzeste Verbindung dieser beiden Geraden liegt, nicht nur eine, sondern sogar unendlich viele.
weiter @K.:
Deren Laenge ist der Abstand der beiden Geraden und somit die Distanz der beiden Schnittpunkte jeder dieser Geraden mit der o.a. Normalebene. Legt man diese Normalebene durch den Anfangspunkt von h, so ergibt sich prinzipiell der Rechengang, wie von Mainzi dargelegt; allerdings ist dort ein Rechenfehler aufgetreten, denn r ist -11/6 und nicht -33/6. Der Fehler ist der, dass (4;1;-1).(4;1;-1) nicht 6, sondern 18 ist.
Sind die Geraden g, h nicht parallel, muessen wir die "Endpunkte" des Gemeinlotes, G und H auf den Geraden g und h berechnen.
Beispiel:
g : X = (-1;4;7) + s*(-2;2;-1)
h : X = (5;1;-2) + r*(-4;-2;4)
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Um den Punkt G zu erhalten, ist eine Ebene E_h durch h normal zu g zu errichten (d.h. die Ebene E_h enthaelt die Gerade h!) und diese mit g zu schneiden.
Der Normalvektor dieser Ebene E_h ist der Richtungsvektor der Geraden:
(-2;2;-1).X = c, c erhalten wir, wenn wir einen beliebigen Punkt von h einsetzen
(-2;2;-1).(5;1;-2) = c = -6
E_h:
(-2;2;-1).X = -6, Schnitt mit g:
-2*(-1 - 2s) + 2*(4 + 2s) - (7 - s) = -6
2 + 4s + 8 + 4s - 7 + s = -6
9s = -9
s = -1 --> G -->
G(1|2|8)
°°°°°°°°
Auf analoge Weise kann H bestimmt werden, also Ebene Eg durch g normal zu h, mit h schneiden ergibt den Punkt H
...
H(-1|-2|4)
°°°°°°°°°°
Nun noch zu der Formel zur Ermittlung des Normalabstandes zweier windschiefer Geraden, ohne die Endpunkte G und H zu kennen:
d = |(A1 - A2).No|
A1, A2 sind die Ortsvektoren zu je einem beliebigen Punkt auf den beiden Geraden, No ist der normierte Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Der Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden zeigt ja bereits in die Richtung des kuerzesten Abstandes dieser beiden Geraden (man nennt ihn eben auch: Gemeinlot).
Jetzt erinnert man sich an die Definition des skalaren Produktes zweier Vektoren a, b:
a.b = |a|*b_a, wobei b_a die Normalprojektion des Vektors b auf a ist.
Wenn man nun den Vektor A1A2, wobei A1 auf g und A2 auf h liegt, auf den normierten Normalvektor projiziert, erhalten wir genau den Normalabstand d.
Das skalare Produkt von No.(A1 - A2) ist |No| mal der Projektion von (A1 - A2) auf No, und da |No| = 1, ergibt sich exakt der Normalabstand
d = |No.(A1 - A2)|
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gr
mYthos |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. August, 2005 - 19:40: |
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@mythos: Erstmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung. hab soweit alles verstanden.
Wenn ich dass jetzt richtig sehe, müsste dann die Gerade GH= r* Vektor n (Normalenvektor,d.h. Richtungsvektor der zur Geraden g und der Geraden h orthogonalen Geraden.
Danke, K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1487
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. August, 2005 - 23:56: |
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Hallo!
Du meinst wohl die (Parameter-)Gleichung der Geraden GH, darin fehlt bei dir allerdings noch der Anfangspunkt, die Gleichung ist
X = G + r*n oder auch
X = H + r*n
Gr
mYthos |
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