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Juliano (Juliano)
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Neues Mitglied
Benutzername: Juliano

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2005
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Juni, 2005 - 18:42:   Beitrag drucken

Hi, ich brauche Eure Hilfe bei einer dreiteiligen AUfgabe. Ich habe so meine Mühe und Not damit.

a) Zeigen Sie, dass U = {(x1; x2; x3)| x1 + 2x2 + 3x3 = 0} ein Teilraum von R³ ist und die Vektoren b1 = (-2;1;0) und b2 = (-3;0;1) eine Basis von U bilden.

Fassen wir den R³ als geometrischen Vektorraum auf, wird U zu einer Ebene E1. Notieren Sie eine Gleichung von E1.

b) Betrachten Sie die drei Punkte P=(1;1;1) Q=(3;q2;q3) und R=(2;5;r3).
Die fehlenden Komponenten q2, q3 und r3 sollen nun so gewählt werden, dass die Vektoren PQ und PR linear abhängig sind und zugleich in E1 (bzw. U) liegen.

Warum liegen die drei Punkte P, Q und R auf einer Geraden g1? Geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an und untersuchen Sie deren Lage zur Ebene E1.

c) Die Punkte A = (0;0;0), B = (1;4;-3) und C = (-1;2;3) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC. Dieses Dreiecks liegt in der Ebene E2. Geben Sie eine Gleichung dieser Ebene an.

Zeigen Sie, dass sich die Ebenen E1 und E2 in einer Geraden g2 schneiden und stellen Sie eine Geradengleichung zu g2 auf. Wie verhalten sich die Geraden g1 und g2 zueinander?

Die Dreiecksseite CB liegt auf der Geraden g3. Geben Sie auch für diese Gerade eine Gleichung an und untersuchen Sie deren Verhältnis zu g1.


Mein Lösungsvorschlag für a)

Als erstes kommt doch die Abgeschlossenheit dran.
x=(x1;x2;x3), y=(y1;y2;y3) aus U
(x1+y1)+2(x2+y2)+3(x2+y2)=x1+2x2+3x3+y1+2y2+3y3=0+0=0
x+y aus U
r aus R, x aus U
rx=(rx1;ex2;rx3); rx1+2rx2+3rx3=r(x1+2x2+3x3)=r*0=0
rx aus U
U ist der Unterraum
b1 und b2 sind linear unabhängig.

Koordinatengleichung der Ebene 1 in R^3
x1+2x2+3x3=0

Parameterform
x2=r; x3=s
x1=-2r-3s
(x1;x2;x3)=r(-2;1;0)+s(-3;0;1)

Nun a) ging ja noch aber bei b) und c) schwimme ich echt und habe keinen Plan wie ich die lösen soll. Daher erhoffe ich mir Hilfe von Euch.

Gruß

Juliano
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Tux87 (Tux87)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tux87

Nummer des Beitrags: 515
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Juni, 2005 - 17:05:   Beitrag drucken

b)
-PR und PQ kannst du bestimmt aufstellen
-dann machst du (irgendeine Variable) a*PR=PQ und schaust, wann das geht
2a=1
a(q2-1)=4
a(q3-1)=r3-1
--> a=1/2, q2=9
-auÜerdem muss gelten, dass wenn du PR und PQ in x1+2x2+3x3=0 einsetzt, die Gleichung aufgeht
2+2*9+3*(q3-1)=0 --> q3=-17/3
2+2*4+3*(r3-1)=0 --> r3=-7/3

-es ist eine Gerade, da die Vektoren PQ und PR linear abhÜngig sind und in beiden Vektoren der Punkt P enthalten ist
g1: P+r(PQ) [r ist irgendeine Variable]
-einsetzen kannst du selbst

x1+2x2+3x3=0
einsetzen von g1
wenn 1=1 oder Ühnlich, dann liegt g1 in E1
wenn 1=0, dann parallel
wenn r=1, dann Schnittpunkt
mfG
Tux

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