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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Mai, 2005 - 17:25: | 
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Hallo,
Ich möchte nur überprüfen, ob mein Ansatz richtig ist:
Also folgende Aufgabe: Geben Sie die Schargleichung der zur Ebene E : X=( 1;1;2)+r*(-2;1;2)+ s*(1;-1;1) parallelen Geraden durch den Ursprung an.
Meine Lösung: Es muss t*u + r*m +s*n= 0 gelten ( also die Richtungsvektoren der Geraden und der Ebene ( u,m, n ) seien komplanar. Da m und n als Richtungsvektoren der Ebene nicht kollinear sind, folgt r ungleich 0.
Der Richtungsvektor u lässt sich als Linearkombination von den Spannvektoren m und n darstellen: u= -1/r*(s*m+ t*n)
=> u liegt in jeder von m und n aufgespannten Ebene, und daher liegt jede Gerade mit dem Richtungsvektor u, also auch die Gerade g, parallel zu E.
Direkt auf die Aufgabe bezogen heißt dass:
u= -1/r ( s*m + t*n)
für r=-1
u= 1*(( -2;1;2) + (1;-1;1))
u= 1*( -1;0;3)
g:x= (0;0;0) + a*r ( -1; 0;3)
=> g:x= t*(-1;0;3)
Vielen, vielen Dank im Voraus,
K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1428
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Mai, 2005 - 01:33: |
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Hi,
deine Umformung verstehe ich schon nicht, mit den von dir gewählten Parametern muss
u = -1/t (r*m + s*n)
sein, allerdings kann man ja die Parameter nennen, wie man will. Im weiteren Verlauf erhältst du jedoch nur EINE Gerade, und das ist eindeutig nicht richtig, denn es gibt deren eine ganze Schar ...
Ausser dem Parameter t muss also noch ein weiterer - der Scharparameter - auftreten.
Du kannst deine Überlegung deshalb so fortführen: Die gesuchten Geraden haben als Richtungsvektor
u = r*(-2;1;2)+ s*(1;-1;1)
und gehen durch den Nullpunkt, voilá!
g:
X = (0;0;0) + t*u
X = t*[r*(-2;1;2)+ s*(1;-1;1)]
mit t*r = a, t*s = b ist
g: X = a*(-2;1;2) + b*(1;-1;1)
Eine der Zahlen a, b ist der Scharparameter, die andere der Multiplikator für den Richtungsvektor. Welche jeweils der beiden - das bleibt sich im Endeffekt gleich.
Das Ergebnis stellt nichts anderes als die zu E parallele Ebene durch O dar. Das muss auch so sein, denn das Geradenbüschel um 0 bestreicht ja letztendlich alle Punkte dieser Ebene.
Gr
mYthos |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 94
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Mai, 2005 - 15:07: |
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@ mythos: Erstmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung der Lösung!
Aber noch eine Frage am Rande: Gibt es auch einen andren (vielleicht einfacheren) Weg die Schargleichung zu ermitteln?
Danke,
K. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1429
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Mai, 2005 - 21:25: |
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Nimm die gegebene Ebene
E : X = (1;1;2) + r*(-2;1;2) + s*(1;-1;1) und ersetze den Anfangspunkt durch (0;0;0) (es ist die Parallelebene durch O). Dann erhältst du bereits die Gleichung der Geradenschar, diesmal in den Parametern r und s.
Einfacher geht's wahrscheinlich nicht mehr ...
Gr
mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1430
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Mai, 2005 - 21:57: |
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Korrektur zu meinem ersten Post:
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...
Eine der Zahlen a, b ist der Scharparameter, die andere der Multiplikator für den Richtungsvektor
...
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Das ist mißverständlich bzw. stimmt nicht. Der Richtungsvektor setzt sich vielmehr aus beiden Parametern zusammen, er lautet
(-2r + s; r - s; 2r + s)
Die Gerade lautet demnach:
g: X = t*(-2r + s; r - s; 2r + s)
So sieht man sie besser.
Nach dem Ausmultiplizieren erhalten wir dann die o.a. Darstellung. |
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