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Beitrag |
    
Frank
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Mai, 2005 - 06:57: | 
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Hallo ihr lieben Leute,
ich werde das mündliche Abitur in Mathematik haben. Dabei wird auch Analysis, also auch Kurvendiskussion möglich sein.
Dies war bei mir in der zwölften Klasse. Vielleicht könnte mir jemand die folgenden Kurven diskutieren: Nullstelle, Extrema, Wendepunkt, wenn möglich den Graphen und den Flächeninhalt zwischen den zwei Nullstellen. Gibt es sonst noch Dinge zu berechnen? Also mit Hilfe der Integralrechnung. Es wäre sehr, sehr nett. Ich kann euch bei Fragen zum Fach Politik-Wirtschaft gerne helfen.
Die Funktionen sind:
a) f(X)= X³-6X²+9X-4
b) f(X)= 1/4 X³ -2X²+4X
Es wäre toll, wenn es ausführlich gerechnet wird, damit ich die einzelnen Schritte nachvollziehen kann.
Vielen Dank
Frank |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1134
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Mai, 2005 - 10:46: |
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Vielleicht erst einmal ein paar generelle Anmerkungen als Erinnerungshilfe:
Nullstellen: f(x)=0
Bei Funktionen mit einem grad höher als zwei kommt man mit der cardanischen Formel weiter, durch raten einer Nullstelle oder manchmal auch scharfes hingucken, ob es eine spezielle Funktion ist. (Stichwort pascalsches dreieck)
Extremstellen: f'(x)=0 (notwendig, nicht hinreichend!)
Leite die Funktion ab (Exponenten vorziehen und um eins senken), verfahre dann wie bei den Nullstellen beschrieben. Weiterhin benötigst Du die zweite Ableitung. Setzte die eben bestimmten Stellen in diese ein und schau, ob der Wert der herauskommt ungleich Null ist. Wenn ja, hast Du ein Extrem (Minimum bei f''>0, sonst Maximum)
Problem: Wenn auch die zweite Ableitung Null wird, musst Du entweder das Vorzeichenwechselkriterium anwenden, oder solange weitere Ableitungen bilden, bis eine davon ungleich Null wird.
Wendestellen: f ''(x)=0 (ebenfalls nur notwendig, aber nicht hinreichend)
Im Prinzip dasselbe wie bei den Extremstellen, nur mit f ''(x)
Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören ansonsten noch Aussagen über den Definitionsbereich, die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der zu betrachtenden Funktion, sowie Grenzwertbetrachtungen. Oft wird auch noch der Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmt und Symmetrieverhalten. (Bei ganzrationalen Funktionen an den auftretenden Exponenten zu erkennen, ansonsten durch prüfen ob f(x)=f(-x) bzw. f(-x)=-f(x) für alle x gilt)
Ein weiterer Punkt, der sich aber meistens schon aus der Extremwertbestimmung ergibt, ist das Steigungsverhalten des Graphen.
So, nun gehe ich erst einmal frühstücken ;) |
Franky
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 11:09: |
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Hallo Ingo und andere,
ich habe mich zunächst über die Erinnerungshilfe gefreut!!!
Ich fände es trotzdem sehr schön, wenn es mir einmal vorgerechnet wird.
Es wäre sehr nett.
Franky |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1137
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 15:03: |
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Kein Problem, hatte nur auf eine Rückmeldung gewartet.
f(x)= x³-6x²+9x-4
Wir stellen zunächst fest, daß f als ganzrationale Polynomfunktion auf ganz IR stetig und beliebig oft differenzierbar ist.
Einfache Symmetrien liegen nicht vor, da sowohl gerade, als auch ungerade Exponenten auftreten.
Wenden wir uns dann den Nullstellen zu:
Scharfes Hingucken (oder Probieren: Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, ist sie ein Teiler der letzten Ziffer, also kommen hier nur ±2 und ±1 in Frage) bringt die erste Nullstelle mit x=1 ans Tageslicht.
Wir spalten den Linearfaktor ab: f(x)=(x-1)(x²-5x+4)
Die anderen Nullstellen sind nun nur noch (pq)Form(el)sache: x²-5x+4=0 <=> x=(5/2)±Wurzel(25/4 - 4) => x=4 oder x=1
Insgesamt erhalten wir: x=1 und x=4 sind Nullstellen.
Als zweites geht es um die Extremstellen. Wir bilden zunächst die Ableitung
f '(x)= 3x²-12x+9 = 3(x²-4x+3)
Mögliche Extrema sind an den Nullstellen dieser Funktion, also kommt wieder die pq-Formel zum Einsatz: x²-4x+3=0 => x=2±Wurzel(4-3) => x=1 oder x=3
Es gibt nun mehrere Möglichkeiten zu begründen, daß diese beiden Stellen auch wirklich Extrema sind. Halten wir uns aber lieber an den Standardweg und setzen in die zweite Ableitung ein:
f ''(x)=2x-4 => f''(1)=-2<0
Also liegt bei x=1 ein lokales Maximum (H(1;0)) und aus Stetigkeitsgründen bei x=3 ein Minimum (T(3;-4)) vor.
Nun zu den Wendestellen
Wie wir eben berechnet haben ist f''(x)=2x-4, also ist f '''(x)=2 und es liegt bei x=2 eine Wendestelle (Wendepunkt W(2;-2))vor.
Was fehlt noch? Richtig: Die Grenzwerte. Da wir am Anfang festgestellt haben, daß der Definitionsbereich ganz IR umfasst, gibt es nur zwei "Grenzen", nämlich ±¥.
Man kann sich leicht überlegen, daß "im Unendlichen" der x³ Term überwiegt und somit gilt
limx->-¥ f(x) = -¥
limx->+¥ f(x) = +¥
Was nun noch zur vollständigen Diskussion fehlt ist eine Skizze des Graphen. Ich denke aber mal, die wirst Du hinbekommen. |
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