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Tinimaus86 (Tinimaus86)
Neues Mitglied
Benutzername: Tinimaus86
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Mai, 2005 - 22:08: | 
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Hallo,
habe als Hausaufgabe auf:
Es seien die Punkte P(2/4/3), P1(0/-2/-) und Q(2/8/4) gegeben.
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, bezüglich welcher P und P1 spiegelbildlich liegen.
b) Berechne den Durchstoßpunkt D der Geraden g=(PQ) durch die Ebene E.
c) Die zu E orthogonale Gerade durch Q durchstößt im Punkt F. Berechne die Koordinaten von F, die Länge der Strecke QF und den Spiegelpunkt Q1 von q bezüglich der Ebene e. Bestimme eine Gleichung der Geraden (DF).
d) Welchen Winkel schließt die Gerade g mit der Ebene E ein? Welchen Winkel schließt g mit den koordinatenebenen ein?
Und habe leider im Augenblick absolut keine Ahnung, wie ich die Aufgabe anfangen kann. Also, wichtige wäre die a) und c), so wie der zweite Teil von d).
Hoffe mir kann jemand helfen! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1399
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Mai, 2005 - 23:25: |
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Hallo,
von P1 fehlt in der Angabe die dritte Koordinate!
Hinweis zu a)
Bestimme den Halbierungspunkt H der Strecke PP1 ( H = (P + P1)/2 ). Durch diesen geht die gesuchte Ebene und ausserdem verläuft sie senkrecht zu PP1. PP1 ist also ein Normalvektor ( N(n1;n2;n3) ), in der Ebenengleichung erscheinen dessen Koordinaten als Koeffizienten
n1 * x + n2 * y + n3 * z = c
c wird berechnet, indem die Koordinaten von H statt x, y, z eingesetzt werden.
Gr
mYthos |
Tinimaus86 (Tinimaus86)
Neues Mitglied
Benutzername: Tinimaus86
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 08:03: |
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Der Punkt P1 (0/-2/-1)
Wie bestimme ich den Spiegelpunkt Q1 von Q bez�glich der Ebene?
Und wie muss ich den Winkel berechnen, den E mit den Koordinatenebenen einschlie�t? |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1400
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 16:21: |
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H(1|1|1); E: x + 3y + 2z = 6
Kannst du a) nun nachvollziehen?
Die Normale von Q auf die Ebene hat den Vektor N als Richtungsvektor, N = (2,6,4) = 2*(1;3;2)
F ist der Durchstoßpunkt (Schnittpunkt) dieser Normalen mit E ..
[ F(0|2|0) ]
Nachdem du F berechnet hast, benützt du die Tatsache, dass der Vektor QF gleich dem Vektor FQ' ist. Somit ist
Q' = F + QF
[ Q'(-2|-4|-4) ]
Für den Winkel von g mit E bestimmst du zunächst den Winkel phi' von g mit der Normalen (N) und subtrahierst dann diesen von 90°
PQ = (0;4;1), N = (1;3;2)
cos(phi') = (PQ).N / (|PQ|*|N|) = 15/sqrt(17*14) = ..
phi = 90° - phi'° ( = 76,5°)
Statt aus dem cos den Winkel phi' zu bestimmen und dann von 90° subtrahieren, kann man - wegen
cos(phi') = sin(90° - phi') = sin(phi)
- den Winkel phi sofort aus
sin(phi) = 15/sqrt(17*14)
bestimmen!
Letztendlich ist der Winkel einer Geraden mit den Koordinatenebenen auf ähnliche Weise zu ermitteln:
Beispielsweise der Winkel mit der x-y - Ebene:
Dazu den Winkel phi_z des Richtungsvektors mit dem Einheitsvektor (0;0;1) (dessen Betrag ist 1) auf der z-Achse bestimmen, diesen von 90° subtrahieren.
cos(phi_z) = 1/sqrt(5) » phi_z; phi_xy = 90° - phi_z
Oder:
sin(phi_xy) = 1/sqrt(5) »
phi_xy = 26,6°
Übrigens ist PQ parallel zur yz-Ebene, somit beträgt dort der Winkel 0.
Gr
mYthos |
Tinimaus86 (Tinimaus86)
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Benutzername: Tinimaus86
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 20:41: |
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Aber F kann nicht der gleiche Punkt sein, wie in b) wo ich den Durchsto�punkt berechnen musste. Oder seh ich das jetzt falsch? |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1401
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| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 20:56: |
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Das steht ja nirgends, dass F und D gleich sind!
Der Durchstoßpunkt der Geraden PQ mit der Ebene ist D (den kannst du leicht berechnen, denn Ebene und Gerade sind ja bekannt), während F der Normalenfußpunkt des Lotes von Q auf die Ebene ist! |
Tinimaus86 (Tinimaus86)
Junior Mitglied
Benutzername: Tinimaus86
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 21:16: |
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Ja, schon gut. Hatte da eben einen Denkfehler. Kannst du mir nochmal probieren, zu erkl�ren, wie das geht mit der Berechnung des Punktes F wenn die AUfgabenstellung lautet: Die zu E orthogonale Gerade durch Q durchst��t E im Punkt F. Ich verstehe nicht wie du da auf die Punkte kommst. |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1402
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 23:35: |
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Normale durch Q auf Ebene:
X = (2;8;4) + t*(1;3;2)
[Richtungsvektor der Normalen ist Normalvektor der Ebene]
in E: x + 3y + 2z = 6 »»
2 + t + 24 + 9t + 8 + 4t = 6
14t = -28
t = -2
°°°°°°
F = (2;8;4) - 2*(1;3;2) = (0;2;0) |
