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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5047
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 16:42: | 
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Hi allerseits
 verbesserte Auflage?
Zum Abschluss der Serie FE erscheint als Nr.13
eine ganz konventionelle Aufgabe für die Oberstufe,
die aber ihre Tücken hat.
Die Hauptsche ist wohl:
die Aufgabe lässt verschiedene
Lösungsmethoden zu; Schüler können ihre Fitness bezüglich
der Vektorrechnung und analytischen Geometrie des R3 messen und ein wenig abschätzen, was noch alles zu lernen wäre auf diesem Betätigungsfeld.
Man nehme das Mass!
Die Aufgabe lautet:
Gegeben ist eine einparametrige Ebenenschar E(c) mit der Gleichung x – y + c z = 1
(der reelle Parameter c variiert von minus unendlich bis plus unendlich),
sowie der feste Punkt S(1/2/3).
a)
Man spiegele die Ebene E am Punkt S und ermittle die Gleichung der Bildebene F in Abhängigkeit von c.
b)
Berechne den Abstand d = d(c) der beiden Ebenen E und F.
Welches ist das Minimum m und welches ist das Maximum M,
das dieser Abstand annehmen kann?
c)
Welches Gebilde entsteht aus E und F, wenn c gegen unendlich strebt?
d)
Existiert der Limes von d(c) für c strebt gegen unendlich?
Welches ist der allfällige Wert?
Viel Erfolg bei der Lösung!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5052
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Mai, 2005 - 09:18: |
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Hi allerseits
Diese interessante Aufgabe darf nicht ohne weitere
Bearbeitung im Archiv landen.
Es steht eine Lösung der anspruchvolleren Teile der
Aufgabe erst noch bevor.
Teilaufgabe b)
Wir berechnen zunächst den Abstand a (c) des
Spiegelungszentrums S von der allgemeinen Ebene E ( c ).
Dies geschieht mit Hilfe der Hesseschen Normalenform
der Ebene E, welche bekanntlich (!) so lautet:
(x – y + c z – 1) / sqrt (2 + c ^2) = 0.
Es genügt, das Abstandsquadrat
f ( c ) = a^2 zu untersuchen.
Durch Einsetzen der Koordinaten (1/2/3) des Punktes S in die linke Seite der NF und nach dem Quadrieren gewinnt man
f( c ) = (3 c – 2 ) ^2 / (2 + c ^2)
Die vereinfachte Form der ersten Ableitung dieser Funktion nach c lautet:
f ´( c ) = 4 (3 c - 2 ) ( 3 + c ) / (2 + c^2) ^2
Die Nullstellen dieser Ableitung sind die Werte
c1 = 2/3 und c2 = - 3.
Bei c1 liegt das bereits von Walter ermittelte Minimum 0 vor, gültig zunächst für f(c).
Bei c2 liegt das Maximum 11 für f( c ) vor.
Es dürfte nicht schwierig sein, den Zusammenhang zwischen
f( c ) und dem im Aufgabentext erscheinenden d( c )
herzustellen.
Damit ist diese Teilaufgabe gelöst.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5055
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Mai, 2005 - 08:32: |
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Hi allerseits
Die schönsten Teile der Aufgabe kommen auch
hier als Schlussbouquet:
Teilaufgabe c):
wir dividieren beide Seiten der Ebenengleichung E(c)
mit c (c sei von null verschieden).
Wir erhalten:
x/c – y/c + z = 1/c
Lassen wir nun c gegen unendlich gehen,
so entsteht:
z = 0.
Das ist die Gleichung der (x,y)-Ebene.
Spiegeln wir diese am Punkt S(1/2/3),
so entsteht als Bildebene die Hauptebene mit der
Gleichung z = 6 ;der Abstand d der beiden Ebenen
ist 6.
Teilaufgabe d)
Die unecht gebrochene rationale Funktion f( c )
(Zählergrad 2, Nennergrad 2) strebt für c gegen
unendlich gegen den Quotienten 9/1 = 9 der
Koeffizienten der höchsten Potenzen von c im
Zähler und im Nenner.
Der Grenzwert von d( c ) ist gemäss Herleitung:
G = 2*sqrt(9) = 6.
Wir sind diesem Wert unter littera c) bereits
begegnet.
Damit ist diese lehrreiche Aufgabe erfolgreich
gelöst!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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