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Aufgabe FE 05 : Prismatoid

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5013
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 19. April, 2005 - 07:00:   Beitrag drucken

Hi allerseits

in der fünften Aufgabe FE 05 im Zyklus der Festivalsaufgaben
soll eine Aufgabe gelöst werden, die ich in einem Stereometriebuch
aus dem Jahr 1886 entdeckt habe und die gut hierher passt.

Sie lautet wörtlich so:

Auf der Ebene eines Rechtecks, dessen Seiten m und n gegeben sind,
seien in zwei gegenüberliegenden Eckpunkten senkrechte Gerade
von gleicher Länge p errichtet und die Endpunkte dieser Geraden
seien miteinander und mit den beiden andern Eckpunkten
des Rechtecks verbunden. Man berechne das Volumen des Keils,
dessen Kanten diese Verbindungslinien und die Seiten des Rechtecks
sind.

Resultat: V = 2/3 p m n
Mittelschnitt (ein Sechseck): M = ¾ mn

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Grandnobi (Grandnobi)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi

Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 12:40:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Das Volumen dieses, zunächst kompliziert aussehenden, Körpers ermittelt man am einfachsten, indem man die Volumina der beiden zu einem Quader "fehlenden" Dreieckspyramiden mit der Formel

(1/3) Grundfläche * Höhe

zu jeweils

(1/3) * (mpn)/2 = (mpn)/6

bestimmt.

Damit beträgt das Volumen des restlichen Körpers

V = mpn – 2 * (mpn)/6 = (2/3) mpn

Bezüglich des Mittelschnittes wäre ein Hinweis hilfreich gewesen, daß es sich um den horizontalen Mittelschnitt handelt. Die vertikalen Mittenschnitte ergeben dagegen "echte saudi-indische Fünfecke" *haha* mit dem Flächeninhalt ¾ mp bzw. ¾ np.
fe05

Gruß,
grandnobi
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5018
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 19:35:   Beitrag drucken

Hi grandnobi

Danke für Deine interessante Lösung!
Die habe ich nicht erwartet, umso besser für die Tatsache!

Es ist immer spannend und lehrreich, mit Lösungen konfrontiert zu werden, die man nicht im Köcher hatte.

Was den Mittelschnitt anbelangt, wollte ich nicht zu viel verraten.
Wer aber die vorausgehenden Arbeiten aufmerksam
studiert har, weiß, welche Art Mittelschnitt gemeint ist, insbesondere, wenn auf die Volumenformell des Prismatoids immer wieder hingewiesen wird.
Man wird nicht darum herumkommen, diesen Teil der Stereometrie zu goutieren.


Post festum nenne ich noch den Namen, den dieser
Körper im vorletzten Jahrhundert getragen hat:
die übliche Bezeichnung war „Sphenisk“; das weiß nicht einmal Google, hihi!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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