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Nepoab2005
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. April, 2005 - 18:59: | 
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Hallo!
Bin sehr stark auf eure Mithilfe angewiesen. Benötige bis heute abend die Lösung folgender Aufgabe:
Von einem Flugplatz starten Flugzeuge mit 20% Steigung in Richtung NNO und von einem 40km nördlich gelegenen Flugplatz mit 10% Steigung in Richtung SO. Berechnen Sie den Abstand der Flugkorridore.
Wäre über eure Hilfe sehr sehr dankbar!
Bis dahin!
Nepoab2005 |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 1377
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| | Veröffentlicht am Montag, den 18. April, 2005 - 01:29: |
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Hi,
setze den Flugplatz F1 in den Nullpunkt des Koordinatensystems, dessen x-Achse nach Osten und y-Achse nach Norden zeigen. Der Flugplatz F2 liegt dann bei F2(0;40;0). Die Flugbahnen werden durch die entsprechenden Geradengleichungen mit den Anfangspunkten F1 und F2 und den jeweiligen Richtungsvektoren G1 bzw. G2 dargestellt.
Es ist F1(0;0;0) und F2(0;40;0)
Nun sind noch die Richtungsvektoren aus den Angaben zu ermitteln; da sie abgekürzt werden können, wird die x-Koordinate jeweils als 1 angenommen. Die y-Koordinaten (y1 von G1, y2 von G2) werden einerseits aus den Beziehungen tan(22,5°) = 1/y1 und aus tan(45°) = 1/y2 berechnet. Die z-Koordinaten folgen aus den Steigungen in %, die tan-Funktionen der Erhebungswinkel gegen die x-y - Ebene sind 0,2 bzw. 0,1, somit ergeben sich z1 und z2 jeweils aus den Hypothenusen der rechtwinkeligen Dreiecke mit den Katheten x,y multipliziert mit den Steigungen.
tan(22,5%) = sqrt(2) - 1
[aus tan(a/2) = -1 + sqrt(1 + tan(a)), tan(a) = 1]
y1 = 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2) + 1
y2 = -1 (Flugrichtung gegen Süden)
z1 = 0,2*sqrt(4 + 2*sqrt(2))
z2 = 0,1*sqrt(2)
Somit lauten die Richtungsvektoren
G1(1; sqrt(2) + 1; 0,2*(2*sqrt(2) + 4))
G2(1; -1; 0,1*sqrt(2))
Die beiden Geraden dürfen sich nun nicht schneiden, sie kreuzen einander nur. Deren minimaler Abstand d heisst auch Gemeinlot und steht senkrecht auf beide Geraden. N sei jener Vektor (Normalvektor), der senkrecht auf beide Vektoren G1, G2 steht.
N = G1 x G2 (Vektorprodukt)
Für d gilt:
d = (F2 - F1).(N/|N|) (Skalarprodukt)
N = (0,5*(2 + sqrt(2)); 0,1*(8 + 3*sqrt(2)); -2 - sqrt(2))
N = (1,707; 1,224; 3,414)
|N| = sqrt(N.N) = 4,0087
d = 40*4,0087 = 160,35 km
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
<Flugkorridore.gif>
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 18., April. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 18. April, 2005 - 02:04: |
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Hi nochmals,
zu bemerken wäre allerdings, dass die Aufgabe auch so gemeint sein könnte, dass nicht der kürzeste, sondern der lotrechte Abstand - normal zur Horizontalebene - zu berechnen ist (das glaube ich fast). Dann gibt es allerdings einen anderen, rein goniometrischen Lösungsweg. Der gesuchte Abstand der beiden Flugbahnen befindet sich dann genau über dem Schnittpunkt deren Grundrisse. Somit ist er als Differenz der beiden Höhen über dem Gundriss-Schnittpunkt darstellbar, was - unter Zuhilfenahme der Skizze - nicht mehr allzu schwer sein dürfte.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 18., April. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 18. April, 2005 - 09:35: |
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Ein Rechenfehler hat sich leider beim Skalarprodukt eingeschlichen, der Wert für d ist natürlich viel zu groß.
Richtig ist vielmehr:
....
d = (F2 - F1).(N/|N|) (Skalarprodukt)
F2 - F1 = (0;40;0)
N = (0,5*(2 + sqrt(2); 0,1*(8 + 3*sqrt(2); -2 - sqrt(2))
N = (1,707; 1,224; 3,414)
|N| = sqrt(N.N) = 4,0087
d = (0;40;0).N/|N|
d = 40*1,224/4,0087
d = 12,2 km
°°°°°°°°°°°°
Die o. a. Berechnung mittels Trigonometrie liefert allerdings einen Wert für d = 4,466 km, also muss sich noch irgendwo eine Diskrepanz befinden ... |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 18. April, 2005 - 12:37: |
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Also, man soll in der Nacht nichts mehr rechnen, ein weiterer Fehler (bei der Berechnung der Richtungsvektoren wurde bei z1 die Wurzel vergessen) ist gefunden, der Ordnung halber soll dieser berichtigt werden:
z1 = 0,2*sqrt(4 + 2*sqrt(2))
z2 = 0,1*sqrt(2)
Somit lauten die Richtungsvektoren
G1(1; sqrt(2) + 1; 0,2*sqrt(2*sqrt(2) + 4))
G2(1; -1; 0,1*sqrt(2))
.......
damit ist
N = (1,2055; 0,24; -3,414)
|N| = 3,629
d = (0;40;0).N/|N|
d = 40*0,224/4,0087
d = 2,643 km
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Damit ist nun der kürzeste Abstand dieser beiden Korridore gefunden, während der zur Horizontalebene lotrechte Abstand größer, nämlich 4,466 km ist.
Gr
mYthos |
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