| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5006
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 20:32: | 
|
Hi allerseits
In diesem ganzen Abschnitt beschäftigen wir uns weiterhin mit der
Aufgabe:
man bestimme den Mittelpunkt eines Kreises, der durch
P(0|4) geht und die Geraden x+2y=12 und 2x+y=-6 berührt.
Diese Aufgabe ist eine der 10 Apollonischen Berührungsaufgaben.
Das Resultat ist bekannt;
die Kreisgleichungen lauten:
k1: x^2 + y^2 - 4 x – 16 = 0
Mittelpunkt M1(2/0),
Radius r1 = 2*sqrt(5)
k2: 9 x^2 + 9 y^2 + 44 x – 80 y + 176 =
Mittelpunkt M2(-22/9 ; 40/9),
Radius r2 = 10 / 9 * sqrt(5)
1. Methode (bereits veröffentlicht)
Als erstes ermittelt man die Winkelhalbierende der beiden Geraden
und entscheidet, welche der beiden möglichen Geraden in Frage
kommen.
Man findet sofort die Gleichung dieser Winkelhalbierenden,
es ist die Gerade w:
y = - x + 2
Weitere Wegmarken:
Wir spiegeln den Punkt P(0/4) an dieser Geraden und erhalten
als Bildpunkt Q den Punkt Q(-2/2).
Der gesuchten Kreis, die gesuchten Kreise, gehen durch diese
beiden Punkte zugleich, sind also Elemente des Kreisbüschels
mit den Grundpunkten P und Q..
Außerdem berühren die gesuchten Kreise eine der beiden
gegebenen Geraden (die jeweils andere Gerade ist dann
von selbst Tangente).
Um die Gleichung des Kreisbüschels aufstellen zu können,
benötigen wir zwei Exemplare des Büschels.
Ausgewählt werden sollen:
1.
die Verbindungsgerade PQ, welche als Kreis mit unendlich großem
Radius aufgefasst wird; die Gleichung lautet:
x – y + 4 = 0
2.
der Kreis mit PQ als Durchmesser; die Gleichung lautet:
x^2 + y^2 + 2 x – 6 y + 8 = 0
Mit diesen Grundkreisen als Basis entsteht die folgende
Parameterdarstellung (L ist Parameter) des Kreisbüschels:
x – y + 4 + L * (x^2 + y^2 + 2 x – 6 y + 8) = 0
Wir schneiden das Büschel mit der Geraden y = - 6 – 2x.
Da diese Gerade den gesuchten Kreis berühren soll,
setzen wir in der zughörigen quadratischen Gleichung für L
die Diskriminante D null.
Die quadratische Gleichung lautet:
5 L x^2 + (38 * L + 3) x + 80 L + 10 = 0
Diskriminante D:
D = (38 * L + 3) ^2 - 20 L * (80 L + 10 )
D = 0 führt auf die quadratische Gleichung in L:
156 L^2 - 28 L - 9 = 0
mit den Lösungen
L1 = - 1 / 6 und L2 = 9/26.
Diese Werte führen mit der Büschelgleichung auf die
am Anfang notierten Kreisgleichungen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Hi allerseits
Hier möchte ich eine weitere Lösung der Berührungsaufgabe
vorführen.
Bei dieser Methode werden Parabeln eingesetzt, und sie führen
uns recht elegant ans Ziel. Jede der Parabeln ist eine Ortskurve
für den gesuchten Kreismittelpunkt.
Wir wählen den Punkt Po (0/4) als Brennpunkt und die
erste Gerade
g1: x + 2 y = 12 als Leitgerade.
Für den laufenden Punkt P(x/y) fordern wir die
Abstandsbedingung:
Abstand P Po = Abstand (P,g1) ;
Letzteres wird mit der Hesseschen Normalenform berechnet.
Wir quadrieren diese Bedingung und schreiben mit Koordinaten:
nach einigen Umformungen:
(I): 4 x^2 + y^2- 4 x y + 24 x+ 8 y – 64 = 0
Wir wählen wir nochmals den Punkt Po (0/4) als Brennpunkt
und die zweite Gerade
g2: 2 x + y = - 6 als Leitgerade.
Für den laufenden Punkt P(x/y) fordern wir die
Abstandsbedingung:
Abstand P Po = Abstand (P,g2) ;
Letzteres wird wiederum mit der HNF berechnet.
Wir quadrieren diese Bedingung und schreiben mit Koordinaten:
nach einigen Umformungen:
(II): x^2 + 4 y^2- 4 x y - 24 x – 52 y + 44 = 0
Aus diesen beiden Gleichungen können die Koordinaten der
Kreismittelpunkte berechnet werden, aber wie?
Weiß jemand Rat?
Wir gehen anders vor.
Aus den Anfangsüberlegungen wissen wir, dass die Mittelpunkte auf der Winkelhalbierenden w : y = - x + 2 liegen.
Wir schneiden daher eine der Parabeln, etwa Nummer I ,mit w
und erhalten dabei die quadratische Gleichung
9 x^2 + 4 x- 44 = 0
Lösungen:
x1 = 2 , x2 = - 22 / 9 wie früher notiert.
Der Erfolg dieser Methode ist offensichtlich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5008
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. April, 2005 - 17:48: |
|
Hi allerseits
Man wird es nicht für möglich halten!
Es gibt noch eine weitere wirksame Lösungsmethode, die von den
bisherigen wesentlich verschieden ist.
Zu Grunde liegt der Sekanten - Tangentensatz aus der Planimetrie.
Mit dieser Methode werden einige Register der elementaren Geometrie
gezogen; mit Zielstrebigkeit führt dies aber bald zu den Resultaten, die wir
erwarten.
Anmerkung
Die Apolloniusaufgabe mit einer Tangente und zwei Punkten,
auf die wir die vorliegende Aufgabe zurückführen, wurde in diesem Forum
am Freitag, dem 13.Dezember 2002 (hihi!), gestellt und u.a. mit Hilfe des
Sekanten-Tangentensatzes gelöst. Man sehe im Archiv nach.
Nochmals die Ausgangsdaten;
gegeben sind die beiden Tangenten
g1: x + 2 y = 12
g2: 2 x + y = - 6
und der Punkt P(0/4)
In einer Vorbereitung berechnet man den Schnittpunkt
S(-8/10) und die maßgebliche Winkelhalbierende w mit der
Gleichung y = - x + 2.
Der an w gespiegelte Punkt zu P ist der Punkt Q(-2/2).
p sei die Verbindungsgerade der Punkte PQ; Gleichung von p :
y = x + 4.
Lösungsstrategie:
Der Berührungspunkt des gesuchten Kreises c mit der Geraden
g1 sei T.
Wir ermitteln den Schnittpunkt R der Geraden p,
welche die Punkte P und Q verbindet, mit der Tangente g1.
Auf die Kreissekante p und die Kreistangente t1 wenden wir den
Sekanten - Tangentensatz an und zwar mit dem Punkt R als
Ausgangspunkt. Nach diesem Satz gilt:
RP * RQ = RT * RT
Die Maßzahlen der Strecken RP und RQ sind bekannt:
RP = a, RQ = b;
Damit ist die Tangentenstrecke RT = u bekannt, nämlich
u = wurzel (RP *RQ); nota bene: u ist das geometrische Mittel
der Strecken a und b.
Die Strecke u tragen wir auf g1 (der Kreistangente) von R aus
nach beiden Seiten ab und erhalten mit den beiden Endpunkten
T1 und T2 je die Berührungspunkte der beiden Kreise c1 und c2.
Wir wollen uns auf den ersten Kreis c1 konzentrieren!
Im Berührungspunkt T1 errichten wir die Normale n1 auf g1.
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der am Anfang genannten
Winkelhalbierenden w ist der Mittelpunkt M1 des Kreises c1.
Wir wollen uns auf den zweiten Kreis c2 konzentrieren!
Im Berührungspunkt T2 errichten wir die Normale n2 auf g1.
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der am Anfang genannten
Winkelhalbierenden w ist der Mittelpunkt M2 des Kreises c2.
Die Punkte T1 und T2 gewinnen wir auf einen Schlag, indem wir
einen Kreis kr mit Mittelpunkt in R und Radius u mit der Tangente g1
in T1 und T2 schneiden.
Die Tangente von kr mit Tj als Berührungspunkt schneidet w in den
gesuchten Mittelpunkten Mj (j=1,2).
Durchführung:
Schnittpunkt R von g1 und p: xR = 4/3, yR = 16/3.
Abstände a = RP = 4/3*sqrt(2) ; b = RQ = 10/3*sqrt(2).
geometrisches Mittel u = sqrt(a*b) = 4/3 * sqrt(5)
Gleichung des Kreises kr:
9 x^2 + 9 y^2 - 24 x – 96 y + 192 = 0
Der Schnitt mit g1: y = - ½ x +6 liefert über die quadratische Gleichung
3 x^2 – 8 x – 16 = 0 , Lösungen – 4/3 ; 4
die Berührungspunkte auf g1:
T1 (4/4), T2(-4/3;20/3).
Tangente t1 an kr in T1: y = 2x - 4
schneidet w in M1(2/0)
Tangente t2 an kr in T2: y = 2x + 28/3
schneidet w in M2( -22/9;40/9)
Alles ok!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
|
