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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5004
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 13:27: | 
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Hi allerseits
Als zweite Aufgabe im Zyklus der Festivalsaufgaben
soll wiederum ein Antiprisma berechnet werden.
Die Aufgabe FE 02 lautet:
In zwei parallelen Ebenen im Abstand h liegen
zwei kongruente Quadrate der Seitenlänge a:
unteres Quadrat ABCD, oberes Quadrat PQRS
Die Mittelpunkte der Quadrate liegen auf einer gemeinsamen,
zu den Ebenen senkrechten Geraden g.
Das obere Quadrat ist um 45° gegenüber dem untern gedreht.
PA und PB sind (gleichlange) Seitenkanten des Körpers.
Analoges gilt für andere Seitenkantenpaare; alle Seitenflächen
sind kongruente gleichschenklige Dreiecke.
Man berechne von diesem Prismatoid
a) das Volumen
b) die Mantelfläche
Resultate:
a) V = 1/3 * a^2 h [2 + sqrt(2)]
b) Mantelfl. =2 a sqrt [4 h^2 + a^2*(sqrt(2) - 1)^2]
Hinweis
Man beachte: der Mittelschnitt ist ein reguläres Achteck,
Seitenlänge ½ a.
Viel Vergnügen bei der Lösung!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5007
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. April, 2005 - 10:09: |
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Hi allerseits
Lösung der Teilaufgabe a)
Flächeninhalt J eines regulären Achtecks, Seitenlänge s:
J = 2 s^2 [1+sqrt(2)]
Der Mittelschnitt M ist ein reguläres Achteck mit der
Seitenlänge s = ½ a; mithin:
M =2 * ¼ * a^2 [1+sqrt(2)]
Grundfläche G = a^2; Deckfläche D = a^2
Damit erhalten wir das Volumen V:
V = h/6 (G+4M+D) = h/6 * a^2 * [4 + 2 sqrt(2)] =
h/3 * a^2 [2 + sqrt(2)]
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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