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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5001
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. April, 2005 - 15:00: | 
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Hi alleseits
Als erste Aufgabe im Zyklus der Festivalsaufgaben
soll ein so genanntes Antiprisma berechnet werden
Der hier zu berechnende Körper ist etwas einfacher
als derjenige von Walter(Mainziman) vorgeschlagene.
Die Aufgabe FE 01 lautet
In zwei parallelen Ebenen im Abstand h liegen
zwei kongruente gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge a.:
unteres Dreieck ABC, oberes Dreieck PQR.
Die Mittelpunkte der Dreiecke liegen auf einer gemeinsamen,
zu den Ebenen senkrechten Geraden g.
Das obere Dreieck ist um 60° gegenüber dem untern gedreht.
PA und PB sind (gleichlange) Seitenkanten des Körpers.
Analoges gilt für andere Seitenkantenpaare; alle Seitenflächen
sind kongruente gleichschenklige Dreiecke.
Man berechne von diesem Prismatoid
a) das Volumen
b) die Mantelfläche
Resultate:
a) V = h / 3 * sqrt (3) a^2
b) Mantelfl. = ½ * sqrt [ 3 (a^2 + 12 h^2) ] * a
Hinweis
Man beachte: der Mitteschnitt ist ein reguläres Sechseck,
Seitenlänge ½ a.
Viel Vergnügen bei der Lösung!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5003
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 13:19: |
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Hi allerseits
Lösung der Teilaufgabe a)
Die Berechnung lässt sich locker als Kopfrechnung
bewältigen.
Man weiß:
der Inhalt eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge
a ist
G = ¼ a^2 sqrt(3)
Wird die Seite eines solchen Dreiecks halbiert (dies passiert
im Mittelschnitt, dafür treten 6 solche halbe Portionen auf)
so wird der Flächeninhalt geviertelt.
Somit gilt für den Mittelschnitt M :
M = 6/4 G;
für die Deckfläche D gilt:
D = G.
Somit
V = h/6 * (G + 4M + D) = h/6 * 8 * G = h/3 *sqrt(3) * a^2
wie vorangekündigt.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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