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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4994
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 14:22: | 
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Hi allerseits
Drehgruppen der regulären Polyeder..
In Analogie zur Darstellung der Gruppenordnung 60 beim regulären
Ikosaeder (siehe die letzte Aufgabe zu diesem Thema) stelle man
die Ordnungen der Gruppen der übrigen regulären Polyeder
systematisch zusammen.
Muster:
Ikosaeder: 60 = 1 + x * 6 + y * 15 + z * 10
mit x = 4, y = 1, z = 2
Bedeutung des Tripels {6;15;10}.
halbe Anzahle der Ecken, Kanten, Flächen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5000
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 15:40: |
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Hi allerseits
Ein Beitrag als Jubiläumsnummer 5000:
Lösung der Aufgabe bezüglich der Polyedergruppen
Zur Einstimmung auf die Polyedergruppen soll der Begriff
der Dualität der regulären Polyeder eingeführt werden.
Beziehungen zwischen dem Würfel und dem regulären Oktaeder.
Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind
zugleich die Ecken eines regulären Oktaeders,
und die Ecken des Würfels sind zugleich die Mittelpunkte
der Seitenflächen eines regulären Oktaeders und umgekehrt.
Dem Würfel lässt sich somit ein reguläres Oktaeder,
dem regulären Oktaeder ein Würfel einschreiben und umschreiben.
Zwei Polyeder, die einander so zugeordnet werden können,
heissen zueinander .dual.
Bei dualen Polyedern stimmt die Anzahl der Ecken
des einen Körpers mit der Anzahl der Flächen des andern überein.
Die Kantenzahl ist bei beiden dieselbe.
In analoger Weise sind das reguläre Dodekaeder und das
reguläre Ikosaeder dual.
Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.
Zurück zur Aufgabe
Gemäss dem Muster in der Aufgabenstellung entstehen
die folgenden Tableaux:
Tetraeder: 12 = 1 + x * 2 + y * 3 + z * 2
mit x = 2, y = 1, z = 2
Bedeutung des Tripels {2;3;2}.
halbe Anzahle der Ecken, Kanten, Flächen.
Hexaeder: 24 = 1 + x * 4 + y * 6 + z * 3
mit x = 2, y = 1, z = 3
Bedeutung des Tripels {4;6;3}.
halbe Anzahle der Ecken, Kanten, Flächen.
Oktaeder: 24 = 1 + x * 3 + y * 6 + z * 4
mit x = 3, y = 1, z = 2
Bedeutung des Tripels {3;6;4}.
halbe Anzahle der Ecken, Kanten, Flächen.
Dodekaeder: 60 = 1 + x * 6 + y * 15 + z * 10
mit x = 2, y = 1, z = 4
Bedeutung des Tripels {10;15;6}.
halbe Anzahle der Ecken, Kanten, Flächen.
Ikosaeder: 60 = 1 + x *6 + y * 15 + z * 10
mit x = 4, y = 1, z = 2
Bedeutung des Tripels {6;15;10}.
halbe Anzahle der Ecken, Kanten, Flächen.
Die dualen Körper liefern unter sich Drehgruppen
mit derselben Elementenzahl; die Gruppen gleichen
sich, wie ein Ei dem andern, genauer:
sie sind isomorph.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megaamath |
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