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Prismatoid Teil I

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4988
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:27:   Beitrag drucken

Hi Walter

Ich sende in den folgenden Beiträgen den versprochenen
Exkurs zum Prismatoid.
Wie schon früher mitgeteilt, lautet die Erklärung
dieses Begriffs so:

Liegen alle Ecken eines Polyeders in zwei parallelen
Grenzebenen, der Grundfläche (Inhalt G) und der
Deckfläche (Inhalt D), so liegt ein Prismatoid vor.
Beide dieser Flächen werden oftmals als Grundflächen
bbezeichnet.
Jeder zur Grundfläche parallele Schnitt erzeugt einen
Parallelschnitt.
Die Mittelparallelebene der beiden Begrenzungsflächen
erzeugt den so genannten Mittelschnitt, Inhalt M.
Der Abstand der beiden parallelen Begrenzungsflächen ist
die Höhe h des Prismatoids.

Für ein Prismatoid gilt die Volumenformel
V = h / 6 * [G + 4 M + D] ,
die später hergeleitet werden soll.

Die Deckfläche kann zu einer Strecke degenerieren,
die parallel zur Grundfläche liegt; sie hasst dann „Schneide“.
Es liegt in diesem Fall ein Keilkörper vor.
Nach wie vor gilt die erwähnte Volumenformel;
es ist daselbst D = 0 zu setzen!

Zu jeder Seite des Mittelschnitts gibt es in der zugehörigen
Seitenfläche in einer der beiden Grundflächen ein doppelt so lange
Seitenkante.
Daher gilt der Satz:

Der Umfang des Mittelschnitts eines Prismatoids
ist gleich dem arithmetischen Mittel der Umfänge
der beiden Grundflächen.

Für die Vorstellung kann die folgende Bemerkung hilfreich sein.
Ist die Grundfläche ein m –Eck und die Deckfläche ein n-Eck,
so hat der Parallelchnitt höchstens m+n Ecken.

Wir bestätigen leicht den Eulerschen Polyedersatz e – k + f = 2.
e ist die Anzahl der Ecken, hier e = m + n
k ist die Anzahl der Kanten , hier k = 2m + 2n
f ist die Anzahl der Begrenzungsflächen, hier f = m + n + 2
Es stimmt!

Fortsetzung folgt!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1266
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:48:   Beitrag drucken

Hallo Megamath

Wäre ein Prismatoid folgendes Gebilde:

auf der Ebene mit z = 0 liegt ein regelmäßiges 5eck, mit Mittelpunkt M(0|0|0) und Umkreisradius r = 8, und einem Eckpunkt bei X(0|8|0)

auf der Ebene mit z = 4 liegt ebenfalls ein regelmäßiges 5eck mit Mittelpunkt M(0|0|4) und Umkreisradius r = 8, sowie einem Eckpunkt bei Y(8|0|4)

jetzt verbinde ich X mit Y und dann im Uhrzeigersinn entsprechend weiter?

G und D wären jeweils die 2 regelmäßigen 5ecke, und M müßte, wenn mich meine 3dim. Vorstellung nicht davonträgt auch eines sein?

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4989
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 08:56:   Beitrag drucken

Hi Walter

Dein Beispiel ist sehr gut ausgewählt und stellt einen Sonderfall eines
Prismatoids dar.
Auf solche Beispiele komme ich nächstens zurück.
Es handelt sich um so genannte Antiprismen.
Unter einem Antiprisma versteht man ein Prismatoid, in welchem
die Grundflächen (verdrehte) kongruente Polygone sind.

Ein schönes und instruktives Beispiel ist das reguläre Ikosaeder.
Zwei geeignete Normalschnitte zu einer Achse des Ikosaeders zerlegen
dieses in zwei kongruente reguläre fünfseitige Pyramiden
und ein Prismatoid der genannten Art. Der Mittelschnitt ist ein
reguläres Zehneck.
Hilfreich ist die Betrachtung von Zeichnungen und Modellen
eines regulären Ikosaeders in allen möglichen Positionen!

Es geling übrigens, das Volumen eines regulären Ikosaeders
aus seiner Kantenlänge mit der Prismatoidformel zu berechnen.

Bei Deinem Beitrag ist also noch die Korrektur anzubringen,
dass M ein 10-Eck ist.

Mit der Zeit wird uns auch das Prismatoid geläufiger.

Bis dann

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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