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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 606
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 16:06: | 
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hallo,
wie lautet die Kugelgleichung mit dem kleinsten Radius, welche die ebene E: x-2y-2z=18 berührt und durch O(0|0|0) geht?
also ich würde ja mal den Abstand des Punktes O von der Ebene bestimmen. Aber ich weiss ja nicht, ob dieser Punkt in einem Abstand zur Ebene gleich dem Durchmesser der Kugel ist??
detlef |
Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1267
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:59: |
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Hi Detlef,
so ist es: der Normalabstand des Punktes O von der Ebene E ist der gesuchte Kugeldurchmesser;
Warum?
würdest Du durch O eine Tangentialebene zur Kugel basteln, dann ist es genau dann eine Parallelebene zur gegebenen Ebene E wenn es sich um diese eine Kugel handelt; jede andere Kugel würde eine Tangentialebene hervorrufen, welche deine gegebene Ebene schneiden;
ich nenne diese durch O verlaufende Tangentialebene mal G;
ist G nicht parallel zu E, dann schließen diese beiden einen Winkel phi ein, welcher umso kleiner wird, umso größer der Radius der Kugel ist;
vorstellbar? 
ist G zu E orthogonal, dann ist der Normalabstand von O zu E der Radius der dazupassenden Kugel;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 608
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 21:27: |
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ok alles klar! danke!
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 610
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 11:38: |
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hab da noch eine ähnliche aufgabe:
bestimme den mittelpunkt eines kreises der durch
P(0|4) geht und die geraden x+2y=12 und 2x+y=-6 berührt!
also der mittelpunkt des kreises müsste ja auf der winkelhalbierenden geraden liegen und der kreis geht durch P. bringt mich das weiter?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 614
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 08:29: |
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anderer ansatz:
einmal die kreisgleichung mit P gleichsetzen mit der einen ebene und dann nochmal mit der anderen, aber dann habe ich r,yM,xM,y,x als unbekannte! klappt alles nicht!
detlef |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1269
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 13:13: |
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Du bist mit der 2ten Aufgabe im IR^2 zu Hause und hast keine Ebene 
beide Geraden haben einen Schnittpunkt S(-8|10)
die Richtungsvektoren der beiden Winkelsymetralen lauten (1; 1) und (-1; 1)
w1: x = (-8; 10) + s * (1; 1)
w2: x = (-8; 10) + t * (-1; 1)
der Mittelpunkt liegt entweder auf w1 oder w2
jetzt setzen wir mal allgemein die Kreisgleichung mit w1 an
k1: ( s - 8 - x )^2 + ( s + 10 - y )^2 = r^2
und mit w2
k2: ( -t - 8 - x )^2 + ( t + 10 - y )^2 = r^2
des weitere ist sehr kompliziert
(bekommst später nach - will ja nicht alles verraten )
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 13:40: |
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Detlef, dass die Angaben ausreichen, zeigt folgender Ansatz:
Der Kreis wird beschrieben durch
(1) (x –xM)^2 + (y – yM)^2 = r^2
Auf ihm liegt der Punkt P = (xP, yP) = (0, 4), d. h.
(2) (xP –xM)^2 + (yP – yM)^2 = r^2
Dadurch kann die Unbekannte r in (1) schon eliminiert werden, d. h. der Kreis lässt sich beschreiben durch
(3) (x –xM)^2 + (y – yM)^2 = (xP –xM)^2 + (yP – yM)^2
Nun kommen die zwei Geraden ins Spiel, um die zwei verbliebenen Unbekannten xM und yM zu ermitteln.
Die Gerade
(4a) x+2y=12
berührt den Kreis, d. h. es gibt genau einen Punkt (x, y), deren Koordinaten sowohl die Gleichung (3) als auch die Gleichung (4) erfüllen.
Löst man z. B. (4a) nach x auf:
(5a) x = 12 - 2y
und setzt man dieses x in (3) ein, so erhält man eine Gleichung, die man in die Form
(6) y^2 + py + q = 0
bringen kann, wobei p und q Ausdrücke sind, die von xM und yM abhängen. Daraus, dass es genau einen Berührpunkt gibt, folgt, dass (6) genau eine Lösung haben muss, also der Ausdruck in der Wurzel der „p-q-Formel“ Null sein muss:
(7) p^2/4 - q = 0
In dieser Gleichung treten nur noch die zwei Unbekannten xM und yM auf, und zwar höchstens in zweiter Potenz. Man kann also nach einer der beiden auflösen und sie in eine zweite Gleichung der Form (7) einsetzen, die sich durch analoges Vorgehen für die zweite Gerade
(5b) 2x+y=-6
ergibt.
Damit sind dann xM und yM bekannt, und ihr Einsetzen in (2) liefert r^2 und damit r. |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 13:45: |
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ok so weit habe ich das jetzt verstanden, aber wie man nun auf den mittelpunkt kommen soll, ist mir unverständlich!
bin schon gespannt!
danke |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 14:05: |
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Wenn Du den Ansatz verstanden hast, dann müsste die Rechnung selbst nur noch eine Fleiß- und Konzentrationsaufgabe sein.
Der Mittelpunkt ist (xM, yM), und wie man diese beiden Koordinaten ermitteln kann, habe ich ja beschrieben. Welche Stelle ist Dir dabei denn unklar? |
Detlef01 (Detlef01)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 14:12: |
|
@dirk
da haben sich unsere postings überschnitten, es war auf mainziman bezogen!
werde deinen weg mal durchrechnen! ähm aber du nimmst ja jetzt nur eine gerade oder? irgendwie kommt da bei mir eine komische rechnung heruas!??
danke
(Beitrag nachträglich am 14., April. 2005 von detlef01 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 14:13: |
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Mal so:
Die allg. Berührbedingung für die Gerade t: y = kx + d und den Kreis k: (m;n); r lautet
(km - n + d)^2 = r^2 (folgt aus HNF)
Das machen wir mal für die zwei Geraden:
1.: (-m/2 - n + 6)^2 = r^2
2.: (-2m - n - 6)^2 = r^2
und drittens geht der Kreis noch durch P, also müssen die Koordinaten von P die Kreisgleichung erfüllen:
3.: (-m)^2 + (4 - n)^2 = r^2
Durch Subtraktion von je 2 Gleichungen erhalten wir zwei Gleichungen in m, n, die letztendlich auf eine quadratische Gleichung (in m bzw. n) führen, es gibt ja zwei Lösungen!
Gr
mYthos |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 16:17: |
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zu „aber du nimmst ja jetzt nur eine gerade oder? irgendwie kommt da bei mir eine komische rechnung heruas!??“:
Sorry, die Gleichung, die ich mit (5b) bezeichnet habe, ist das Analogon zu (4a), müsste also die Bezeichnung (4b) tragen. So wird’s vielleicht klarer:
... Nun kommen die zwei Geraden ins Spiel, um die zwei verbliebenen Unbekannten xM und yM zu ermitteln.
Die Gerade
(4a) x+2y=12
berührt den Kreis, d. h. es gibt genau einen Punkt (x, y), deren Koordinaten sowohl die Gleichung (3) als auch die Gleichung (4a) erfüllen.
Löst man (4a) z. B. nach x auf:
(5a) x = 12 - 2y
und setzt man dieses x in (3) ein, so erhält man eine Gleichung, die man in die Form
(6a) y^2 + py + q = 0
bringen kann, wobei p und q Ausdrücke sind, die von xM und yM abhängen. Daraus, dass es genau einen Berührpunkt gibt, folgt, dass (6a) genau eine Lösung haben muss, also der Ausdruck in der Wurzel der „p-q-Formel“ Null sein muss:
(7a) p^2/4 - q = 0
Analog für die zweite Gerade: Dieses Gerade
(4b) 2x+y=-6
berührt ebenfalls den Kreis, d. h. es gibt genau einen Punkt (x, y), deren Koordinaten sowohl die Gleichung (3) als auch die Gleichung (4b) erfüllen.
Löst man (4b) z. B. nach y auf:
(5b) y = -6 – 2x
(nach was ich auflöse, ist eigentlich egal, ich möchte aber erst möglichst spät mit Brüchen hantieren, deshalb hier mal zur Abwechslung Auflösung nach y statt nach x)
und setzt man dieses y in (3) ein, so erhält man eine Gleichung, die man in die Form
(6b) x^2 + Px + Q = 0
bringen kann, wobei P und Q Ausdrücke sind, die von xM und yM abhängen. (zur Unterscheidung von (6a) habe ich hier große Buchstaben P und Q gewählt, denn es sind ja unterschiedliche Ausdrücke).
Analog zu (7a) gilt dann
(7b) P^2/4 - Q = 0
In den Gleichungen (7a) und (7b) treten jeweils nur noch die zwei Unbekannten xM und yM auf, und zwar höchstens in zweiter Potenz. Man kann also (7a) nach einer der beiden auflösen und sie in die Gleichung (7b) einsetzen
Damit sind dann xM und yM bekannt, und ihr Einsetzen in (2) liefert r^2 und damit r. |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 16:58: |
|
Fehlerberichtigung:
Die Berührbedingung lautet richtig:
(km - n + d)^2 = r^2*(k^2 + 1) (folgt aus HNF: Abstand des Mittelpunktes von t ist r)
Dann ist:
1.: (-m/2 - n + 6)^2 = 5*r^2/4
2.: (-2m - n - 6)^2 = 5r^2
aber auch dann lassen sich die Gleichungen wie beschrieben weiterbehandeln ... |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 11:43: |
|
Hi allerseits
Die von Detlef gestellte Aufgabe ist eine der 10 Apollonischen
Berührungsaufgaben, die man im Allgemeinen konstruktiv löst.
Dies ist in früheren Zeiten auch in diesem Forum erfolgreich
auf mehrere Arten ausgeführt worden.
Ich nehme mich dieser interessanten Aufgabe gerne wiederum
an und versuche, mit einer wenig bekannten
rechnerischen Methode zu einem Ziel zu gelangen,
welches bis jetzt noch nicht sichtbar wurde.
Ich lege es vor: die Kreisgleichungen lauten:
k1: x^2 + y^2 - 4 x – 16 = 0
k2: 9 x^2 + 9 y^2 + 44 x – 80 y + 176 = 0
Die hier gewählte Methode wurde bis jetzt nicht eingesetzt,
daher melde ich mich, allerdings etwas verspätet, erst recht.
Im Gegenzug rechne ich bis zum bitteren Ende.
Ganz offensichtlich hat der Aufgabensteller eine für die meisten
Anwender unsichtbare Gedankenkrücke eingebaut.
Wenn wir dies bemerken, dürfen wir das auch nützen.
Man achte auf die numerischen Daten der beiden
Geradengleichungen.
Ich verschiebe (in Gedanken) beide Geraden parallel in den
Nullpunkt O.
Die Gleichungen der verschobenen Geraden lauten:
x + 2y = 0 und 2x + y = 0.
Wir erkennen:
Die eine Gerade entsteht aus der andern durch Spiegelung
an der Geraden y = x
(Prozess: Vertauschung der beiden Koordinaten x und y!).
Somit hat die Winkelhalbierende der gegebenen Geraden die
Steigung m = 1 ( oder mm = -1).
Der Schnittpunkt S der beiden Geraden hat die Koordinaten
xS = - 8 , yS = 10.
Als eine taugliche Winkelhalbierende w des Problems dient
die Gerade mit der Steigung mm = -1; es kommt als Gleichung
für w:
y = - x + 2
Weitere Wegmarken:
Wir spiegeln den Punkt P(0/4) an dieser Geraden und erhalten
als Bildpunkt Q den Punkt Q(-2/2).
Der gesuchten Kreis, die gesuchten Kreise, gehen durch diese
beiden Punkte zugleich, sind also Elemente des Kreisbüschels
mit den Grundpunkten P und Q..
Außerdem berühren die gesuchten Kreise eine der beiden
gegebenen Geraden (die jeweils andere Gerade ist dann
von selbst Tangente).
Um die Gleichung des Kreisbüschels aufstellen zu können,
benötigen wir zwei Exemplare des Büschels.
Ausgewählt werden sollen:
1.
die Verbindungsgerade PQ, welche als Kreis mit unendlich großem
Radius aufgefasst wird; die Gleichung lautet:
x – y + 4 = 0
2.
der Kreis mit PQ als Durchmesser; die Gleichung lautet:
x^2 + y^2 + 2 x – 6 y + 8 = 0
Mit diesen Grundkreisen als Basis entsteht die folgende
Parameterdarstellung (L ist Parameter) des Kreisbüschels:
x – y + 4 + L * (x^2 + y^2 + 2 x – 6 y + 8) = 0
Wir schneiden das Büschel mit der Geraden y = - 6 – 2x.
Da diese Gerade den gesuchten Kreis berühren soll,
setzen wir in der zughörigen quadratischen Gleichung für L
die Diskriminante D null, setzen also wieder einmal
auf die Diskriminantemethode!
Die quadratische Gleichung lautet:
5 L x^2 + (38 * L + 3) x + 80 L + 10 = 0
Diskriminante D:
D = (38 * L + 3) ^2 - 20 L * (80 L + 10 )
D = 0 führt auf die quadratische Gleichung in L:
156 L^2 - 28 L - 9 = 0
mit den Lösungen
L1 = - 1 / 6 und L2 = 9/26.
Diese Werte führen mit der Büschelgleichung auf die
eingangs notierten Kreisgleichungen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
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Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 20:26: |
|
Hi allerseits
Da die vorhergehende Aufgabe noch weitere Lösungsmethoden zulässt,
welche wohl da und dort Interesse finden, ist es opportun, einen besonderen
neuen Abschnitt (Thread) mit dem Titel
„Eine Apolloniusaufgabe“
zu eröffnen.
Beiträge zum Thema sind willkommen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 617
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. April, 2005 - 07:59: |
|
hallo, ich habe dirks methode jetzt schon zig mal durchgerechnet und bekomme einfach kein ergebnis heraus!
versuche es gleich nochmal und stelle die rechnung mal vor!
detlef |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. April, 2005 - 19:25: |
|
Detlef, wo bleibt Deine versprochene Rechnung???
Also noch einmal von vorne, mit Deiner eigenen Lösungsidee:
Der gesuchte Kreis (es sind deren 2, die möglich sind!) soll durch den Punkt P(0/4) gehen
und die Geraden g: x+2y=12 und h: 2x+y=-6 berühren.
Der Kreis sei k, der Mittelpunkt M(u/v) und der Radius r:
k: (x-u)^2+(y-v)^2=r^2
Es gibt 3 Unbekannte, u, v, und r – also braucht man 3 Bedingungen.
1) P(0/4) ist aus k: u^2+(4-v)^2=r^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2) M liegt auf der Winkelsymmetrale w von g und h, diese wurde schon berechnet:
w: y=-x+2
Da M auf w liegt, gilt:
v=-u+2 bzw.
u=2-v
°°°°°°°
3) Der Abstand von M und g (oder auch h) ist gleich dem Radius r:
HNF von g:
(x+2y-12)/sqrt(5)=0
d(M;g)=r=abs[(u+2v-12)/sqrt(5)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Nun hat man drei Gleichungen für 3 Unbekannte, die es zu lösen gilt:
Setze am einfachsten für u=2-v in 1) und 3) ein,
quadriere 3) und setze dann in 1) für r^2 ein.
Die Lösungen sind ja bekannt!
Gruß
elsa |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 624
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 12:21: |
|
hallo, ich habe nochmal ne frage, wie kommt ihr auf die winkelhalbierende gerade?
also die parameter vor x und y addieren oder subtrahieren oder?
dann komme ich auch auf -x+y aber wie kommt ihr dann auf die 2?
kann man das nicht so machen wie bei der vektorrechnung, also winkelhalbierende ebene?
schnittpunkt der geraden ist doch S(-8/10) und dann komme ich nicht auf 2!
was soll denn für die mittelpunkte herauskommen?
detlef
(Beitrag nachträglich am 21., April. 2005 von detlef01 editiert) |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 12:46: |
|
Detlef,
der Richtungsvektor der Winkelsymmetralen ist:
w=g_0 +h_0,
wobei g_0 und h_0 die auf die Länge 1 gebrachten Richtungsvektoren der Geraden g und h sind.
Und wie kommt man zu den Richtungsvektoren von g und h?
Die Normalvektoren liest man ab aus den Geradengleichungen (Koeffizienten von x und y),
durch Vertauschen der Koordinaten und ein Vorzeichen ändern gewinnst Du jeweils einen Richtungsvektor der Geraden.
Die Lösungen finden sich einige Male in megamaths Beiträgen,
hier als auch in der "Apolloniusaufgabe"!
Gruß
elsa |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 625
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 13:08: |
|
also irgendwie ist damit aber meine frage noch nicht beantwortet!
die normalenvektoren der geraden sind (1|2) und (2|1) und der neue normalenvektor der winkelhalbierenden ist (1|-1) und der Schnittpunkt der geraden liegt ja auch auf der winkelhalbierenden, also müsste die w-gerade doch x-y=18 heißen!
habe den schnittpunkt für x und y eingesetzt!
detlef |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1383
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 13:22: |
|
Hinzuzufügen ist noch, dass es ZWEI Winkelhalbierende gibt, die aufeinander normal stehen.
w1 = g_0 + h_0
w2 = g_0 - h_0
Gr
mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1384
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 13:29: |
|
Für die obige Angabe der beiden Geraden
x + 2y = 12
2x + y = -6
--------------------
ist der Schnittpunkt richtig S(-8;10)
die beiden Winkelsymmetralen
w1: x + y - 2 = 0
w2: -x + y - 18 = 0
------------------------
Du hast einen Fehler bei w2, sie lautet NICHT x - y = 18 sondern -x + y = 18!
Auf deiner liegt ja S nicht einmal darauf!
Die Winkelsymmetralen erhält man, wenn die auf Null gebrachten Hesse'schen Normalformen einmal addiert und einmal subtrahiert werden. In beiden HNF's steht hier im Nenner sqr(5), sodass man mit diesem multiplizieren kann!
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 21., April. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 13:43: |
|
Wenn man (wie elsa) mit den normierten Richtungsvektoren arbeitet, muss die Konstante noch extra berechnet werden, indem man den Schnittpunkt S einsetzt:
(g_0 + h_0)*sqrt(5) = (-3;3) = 3*(-1;1)
w1: -x + y = c1; S eingesetzt: 8 + 10 = c1 » c2 = 18
»»
w1: -x + y = 18
----------
(g_0 - h_0)*sqrt(5) = (-1;-1) = -(1;1)
w2: x + y = c2; S eingesetzt: -8 + 10 = c » c2 = 2
»»
w2: x + y = 2
Gr
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 626
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 15:02: |
|
ja, alles klar, jetzt habe ich alles heraus!
vielen dank!
detlef |
|
