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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4976
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. April, 2005 - 14:59: | 
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Hi allerseits
In der vorliegenden Aufgabe soll die Ordnung n
der so genannten Tetraedergruppe ermittelt werden.
Es handelt sich dabei um die Drehungen um
bestimmte Achsen bei einem regulären Tetraeder,
welche den Körper Ecke um Ecke in sich selbst
überführt.
Gesucht wird die Anzahl n dieser verschiedenen
Drehungen inklusive die Ruheabbildung,
die nichts bewegt.
Die zugehörige Gruppentafel ist nicht verlangt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. April, 2005 - 19:16: |
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6 Drehungen/Spiegelung bei dem jede Ecke vertauscht wird
8 Drehungen bei dem 3 von 4 Ecken vertauscht werden
4 Spiegelungen, bei dem 2 Eckpunkte vertauscht werden
18
+ 1 bei dem alle Ecken gleich bleiben
19
eviii |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4980
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. April, 2005 - 09:34: |
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Hi eviii
Es handelt sich bei den gesuchten Abbildungen ausschliesslich
um Drehungen um Achsen.
Im Ganzen (inklusive der Ruheabbildung) sind 12 solche Drehungen
des regulären Tetraeders ABCD möglich, nämlich:
8 Drehungen um 120° und 240 ° um die Senkrechten
durch D zur Ebene ABC
durch A zur Ebene BCD
durch B zur Ebene CDA
durch C zur Ebene DAB
und die 3 Drehungen mit dem Drehwinkel 180° um die
Verbindungsgeraden der Mittelpunkte der Kantenpaare
AB, CD
AC, BD
BC, AD.
Mit der Identität sind dies 12 Abbildungen.
Dass Deine Antwort nicht zutreffend war,
ist nicht weiter schlimm; auf diesem Gebiet
sind Irrtümer schnell passiert!
Besten Dank für Deinen Beitrag.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4982
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. April, 2005 - 09:48: |
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Hi eviii
Hier noch ein nützlicher Hinweis auf einen Artikel
in Google:
http://www.mathematische-basteleien.de/tetraedergruppe.htm
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. April, 2005 - 17:25: |
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Ich dachte du meinst alle Vertauschungen der Eckpunkte(selbst dann hätte ich mich verrechnet).
Aber sind nicht trotzdem alle Vertauschungen der Eckpunkte, darstellbar durch Kombination von Spiegelungen und Drehungen?
Und das kann man doch gut durch diese SigmaGruppen darstellen.
(1234) + Vertauschungen
(123), (134), (124), (234)+Vertausch
(12),(13),(14),(23),(24),(34)
plus die wo Ecken gleich bleiben
Diese Vertauschungen, sind doch alle unterschiedliche Kombinationen aus Drehungen und Spiegelung.
eviii |
Eviii (Eviii)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Eviii
Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. April, 2005 - 17:25: |
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Ich dachte du meinst alle Vertauschungen der Eckpunkte(selbst dann hätte ich mich verrechnet).
Aber sind nicht trotzdem alle Vertauschungen der Eckpunkte, darstellbar durch Kombination von Spiegelungen und Drehungen?
Und das kann man doch gut durch diese SigmaGruppen darstellen.
(1234) + Vertauschungen
(123), (134), (124), (234)+Vertausch
(12),(13),(14),(23),(24),(34)
plus die wo Ecken gleich bleiben
Diese Vertauschungen, sind doch alle unterschiedliche Kombinationen aus Drehungen und Spiegelung.
eviii |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4983
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 09:00: |
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Hi Eviii
Die Definition der Tetraedergruppe lässt keine
Spiegelungen zu.
Es bleibt dabei: die Gruppe hat die Ordnung 12.
Da Du offenbar Gefallen an Gruppen findest,
empfehle ich Dir das Studium einer ausgezeichneten
Darstellung einfacher endlicher Gruppen
von Daniel Gorenstein in einem Buch aus dem
Spektrum - Verlag 1996, mit dem Titel
„Moderne Mathematik“,
mit einer Einführung von Gerd Faltings.
ISBN 3-8274-0025-2
Ich habe das Buch vor einiger Zeit in der
Buchhandlung Hugendubel am
Karlsplatz/Stachus in München gekauft!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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