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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 569 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 11:41: |
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hallo, ich möchte gern wissen, wie man den schwerpunkt , den innenkreis/außenkreis von einem z.b. dreieck berechnet! oder wie man allgemein den schwerpunkt berechnet! was ergibt der schnittpunkt der seitenhalbierenden/winkelhalbierenden? detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1247 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 16:04: |
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Hi Detlef, der Schwerpunkt ist mittels Vektoranalysis sehr einfach zu bestimmen; a, b, c stellen die Ortsvektoren zu den Eckpunkten dar; 1/3*(c-1/2*(a+b))+1/2*(a+b) = 1/3*c-1/6*(a+b)+3/6*(a+b) = 1/3*c+2/6*(a+b) = 1/3*c+1/3*(a+b) = 1/3*(a+b+c) durch zyklisches Vertauschen bekommst Du den Schwerpunkt "von der anderen Seite" geliefert; Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Schwerlinien [hier gibt es unendlich viele, man nimmt der Einfachheit halber genau die 3, welche durch einen Eckpunkt sowie den Halbierungspunkt der gegenüberliegenden Seite gehen, hier hat der Schwerpunkt eine weitere Eigenschaft, welche man sich bei der Bestimmung zu Nutze macht: er teilt diese 3 Schwerlinien im Verhältnis 1:2 innen] Schwerlinie eines Dreiecks kannst Du Dir so vorstellen; Du spannst einen Faden waagerecht, und versuchst ein Dreieck (aus Pappkarton) darauf zu balancieren, legst Du es so auf den Faden, daß sich dieser mit einer Schwerlinie deckt balanciert es, darum Schwerlinie; Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymetralen Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Seitensymetralen Höhenschnittpunkt ist der Schnittpunkt der Höhen (Beitrag nachträglich am 03., April. 2005 von mainziman editiert) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1249 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 01:00: |
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ohne Beschränkung der Allgemeinheit, kannst Du jedes beliebige 3eck so in ein 2dim-Koordinatensystem legen, wie hier abgebildet: die Ortsvektoren zu den Eckpunkten lauten a = (a;0) b = (b;0) c = (0;c) Achtung: die Komponenten der 3 Ortsvektoren haben nichts mit den Maßen (Seitenlängen) des Dreiecks zu tun; dann gilt für die Ortsvektoren des - Schwerpunktes: s = ((a+b)/3;c/3); - Umkreismittelpunktes: u = ((a+b)/2;(c^2+ab)/(2c)); - Höhenschnittpunktes: h = (0;-ab/c); den Inkreismittelpunkt hab ich (noch) nicht bestimmt; diese 3 Punkte liegen auf der Euler'schen Geraden (grün eingezeichnet) Als Abfallprodukt bekommt man die Formel für den Umkreisradius r = |u-c| = |((a+b)/2;(c^2+ab)/(2c))-(0;c)| = |((a+b)/2;(-c^2+ab)/(2c))| = |((a+b)/2;-c/2+ab/(2c))| = sqrt( ((a+b)/2)^2 + (-c/2+ab/(2c))^2 ) = sqrt( a^2/4 + b^2/4 + ab/2 + c^2/4 + a^2b^2/(4c^2) - ab/2 ) = sqrt( a^2/4 + b^2/4 + c^2/4 + a^2b^2/(4c^2) ) = 1/(2c) * sqrt( a^2c^2 + b^2c^2 + c^4 + a^2b^2 ) = 1/(2c) * sqrt( a^2( b^2 + c^2 ) + c^2( b^2 + c^2 ) ) = 1/(2c) * sqrt( ( a^2 + c^2 )( b^2 + c^2 ) ) = 1/(2c) * sqrt( a^2 + c^2 ) * sqrt( b^2 + c^2 ) = das muß jetzt interpretiert werden: 1/(doppelte Höhe) * Seite * Seite, das Produkt zweier Seiten geteilt durch das Doppelte der zur 3ten Seite gehörenden Höhe; das jetzt wieder in "bekannter" Nomenklatur: r = 1/(2hc) * a * b = ab/(2hc) = abc/(2hcc) = abc/(2*2A) = abc/(4A) Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 574 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 14:09: |
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erstmal vielen dank! und dann die erste frage: was ist symetralen? detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1250 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 15:05: |
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Streckensymetrale - die Menge aller Punkte, welche von 2 Punkten den gleichen Abstand haben; Winkelsymetrale - die Menge aller Punkte, welche von beiden Winkelschenkeln den gleichen Normalabstand haben; Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 576 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 17:54: |
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also bei streckensymetrale: die hälfte einer strecke? detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1251 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 19:54: |
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Streckensymetrale: eine orthogonale Gerade durch den Halbierungspunkt einer strecke; Lernt man diese Begriffe nicht (mehr)? Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 581 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 21:11: |
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nee tut mir leid! also wir haben es jedenfalls nicht gelernt! detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1254 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. April, 2005 - 09:08: |
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bei der Dreiecksgraphik oben sind die blauen Linien die Höhen, die strichlierten Linien die Seitensymetralen; die Winkelsymetralen sind nicht eingezeichnet; die dunkelroten Linien sind die Schwerlinien; H ... Höhenschnittpunkt S ... Schwerpunkt U ... Umkreismittelpunkt I ... Inkreismittelpunkt (nur angedeutet) die grüne Linie ist die Euler'sche Gerade; der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt sind immer innerhalb des Dreiecks; der Höhenschnittpunkt und der Umkreismittelpunkt sind innerhalb des Dreiecks, wenn der größte Winkel kleiner als pi/2 und außerhalb des Dreiecks wenn der größte Winkel größer als pi/2 ist; Sonderfall rechtwinkeliges Dreieck: der Umkreismittelpunkt ist der Halbierungspunkt der Hypothenuse, der Mittelpunkt des sogenannten Thaleskreises; der Höhenschnittpunkt ist mit dem der Hypothenuse gegenüberliegenden Eckpunkt ident; Sonderfall gleichseitiges Dreieck: hier fallen alle 4 Punkte (Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt, Inkreismittelpunkt, Umkreismittelpunkt) zusammen und es existiert hier keine Euler'sche Gerade; Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2747 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. April, 2005 - 10:44: |
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Dazu ist vielleich auch der von Wikipedia angeführte link interessant ( 392kB zip einer pdf ) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 591 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 10:23: |
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ok es hat ein wenig gedauert, aber mit eurer hilfe habe ich das jetzt recht gut verstanden! vielen dank, auch für die mail! detlef |