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schnittpunkte

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Sonstiges » schnittpunkte « Zurück Vor »

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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 569
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 11:41:   Beitrag drucken

hallo,

ich möchte gern wissen, wie man den schwerpunkt , den innenkreis/außenkreis von einem z.b. dreieck berechnet! oder wie man allgemein den schwerpunkt berechnet! was ergibt der schnittpunkt der seitenhalbierenden/winkelhalbierenden?

detlef
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1247
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 16:04:   Beitrag drucken

Hi Detlef,

der Schwerpunkt ist mittels Vektoranalysis sehr einfach zu bestimmen;

a, b, c stellen die Ortsvektoren zu den Eckpunkten dar;

1/3*(c-1/2*(a+b))+1/2*(a+b) =
1/3*c-1/6*(a+b)+3/6*(a+b) =
1/3*c+2/6*(a+b) = 1/3*c+1/3*(a+b) = 1/3*(a+b+c)

durch zyklisches Vertauschen bekommst Du den Schwerpunkt "von der anderen Seite" geliefert;

Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Schwerlinien
[hier gibt es unendlich viele, man nimmt der Einfachheit halber genau die 3, welche durch einen Eckpunkt sowie den Halbierungspunkt der gegenüberliegenden Seite gehen, hier hat der Schwerpunkt eine weitere Eigenschaft, welche man sich bei der Bestimmung zu Nutze macht: er teilt diese 3 Schwerlinien im Verhältnis 1:2 innen]

Schwerlinie eines Dreiecks kannst Du Dir so vorstellen;

Du spannst einen Faden waagerecht, und versuchst ein Dreieck (aus Pappkarton) darauf zu balancieren, legst Du es so auf den Faden, daß sich dieser mit einer Schwerlinie deckt balanciert es, darum Schwerlinie;

Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymetralen

Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Seitensymetralen

Höhenschnittpunkt ist der Schnittpunkt der Höhen

(Beitrag nachträglich am 03., April. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1249
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 01:00:   Beitrag drucken

ohne Beschränkung der Allgemeinheit, kannst Du jedes beliebige 3eck so in ein 2dim-Koordinatensystem legen, wie hier abgebildet:

3eck

die Ortsvektoren zu den Eckpunkten lauten

a = (a;0)
b = (b;0)
c = (0;c)

Achtung: die Komponenten der 3 Ortsvektoren haben nichts mit den Maßen (Seitenlängen) des Dreiecks zu tun;

dann gilt für die Ortsvektoren des

- Schwerpunktes: s = ((a+b)/3;c/3);

- Umkreismittelpunktes: u = ((a+b)/2;(c^2+ab)/(2c));

- Höhenschnittpunktes: h = (0;-ab/c);

den Inkreismittelpunkt hab ich (noch) nicht bestimmt; diese 3 Punkte liegen auf der Euler'schen Geraden (grün eingezeichnet)

Als Abfallprodukt bekommt man die Formel für den Umkreisradius

r = |u-c| = |((a+b)/2;(c^2+ab)/(2c))-(0;c)| =
|((a+b)/2;(-c^2+ab)/(2c))| =
|((a+b)/2;-c/2+ab/(2c))| =
sqrt( ((a+b)/2)^2 + (-c/2+ab/(2c))^2 ) =
sqrt( a^2/4 + b^2/4 + ab/2 + c^2/4 + a^2b^2/(4c^2) - ab/2 ) =
sqrt( a^2/4 + b^2/4 + c^2/4 + a^2b^2/(4c^2) ) =
1/(2c) * sqrt( a^2c^2 + b^2c^2 + c^4 + a^2b^2 ) =
1/(2c) * sqrt( a^2( b^2 + c^2 ) + c^2( b^2 + c^2 ) ) =
1/(2c) * sqrt( ( a^2 + c^2 )( b^2 + c^2 ) ) =
1/(2c) * sqrt( a^2 + c^2 ) * sqrt( b^2 + c^2 ) =

das muß jetzt interpretiert werden:

1/(doppelte Höhe) * Seite * Seite, das Produkt zweier Seiten geteilt durch das Doppelte der zur 3ten Seite gehörenden Höhe;

das jetzt wieder in "bekannter" Nomenklatur:

r = 1/(2hc) * a * b = ab/(2hc) = abc/(2hcc) = abc/(2*2A) = abc/(4A)

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 574
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 14:09:   Beitrag drucken

erstmal vielen dank!

und dann die erste frage: was ist symetralen?

detlef
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1250
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Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 15:05:   Beitrag drucken

Streckensymetrale - die Menge aller Punkte, welche von 2 Punkten den gleichen Abstand haben;

Winkelsymetrale - die Menge aller Punkte, welche von beiden Winkelschenkeln den gleichen Normalabstand haben;
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 576
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 17:54:   Beitrag drucken

also bei streckensymetrale:
die hälfte einer strecke?

detlef
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1251
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Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 19:54:   Beitrag drucken

Streckensymetrale:

eine orthogonale Gerade durch den Halbierungspunkt einer strecke;

Lernt man diese Begriffe nicht (mehr)?
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 581
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 21:11:   Beitrag drucken

nee tut mir leid! also wir haben es jedenfalls nicht gelernt!

detlef
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1254
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 05. April, 2005 - 09:08:   Beitrag drucken

bei der Dreiecksgraphik oben sind die blauen Linien die Höhen, die strichlierten Linien die Seitensymetralen; die Winkelsymetralen sind nicht eingezeichnet; die dunkelroten Linien sind die Schwerlinien;

H ... Höhenschnittpunkt
S ... Schwerpunkt
U ... Umkreismittelpunkt
I ... Inkreismittelpunkt (nur angedeutet)

die grüne Linie ist die Euler'sche Gerade;

der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt sind immer innerhalb des Dreiecks;
der Höhenschnittpunkt und der Umkreismittelpunkt
sind innerhalb des Dreiecks, wenn der größte Winkel kleiner als pi/2 und außerhalb des Dreiecks wenn der größte Winkel größer als pi/2 ist;

Sonderfall rechtwinkeliges Dreieck: der Umkreismittelpunkt ist der Halbierungspunkt der Hypothenuse, der Mittelpunkt des sogenannten Thaleskreises; der Höhenschnittpunkt ist mit dem der Hypothenuse gegenüberliegenden Eckpunkt ident;

Sonderfall gleichseitiges Dreieck: hier fallen alle 4 Punkte (Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt, Inkreismittelpunkt, Umkreismittelpunkt) zusammen und es existiert hier keine Euler'sche Gerade;
Mainzi Man,
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 2747
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 05. April, 2005 - 10:44:   Beitrag drucken

Dazu ist vielleich auch der von
Wikipedia
angeführte link interessant
( 392kB zip einer pdf )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 591
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 08. April, 2005 - 10:23:   Beitrag drucken

ok es hat ein wenig gedauert, aber mit eurer hilfe habe ich das jetzt recht gut verstanden! vielen dank, auch für die mail!

detlef

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