Autor |
Beitrag |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 564 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 10:03: |
|
hallo, gegeben ist die kugel K:x²=21 und die geradenschar g:x=(11|8|0)+t(a|2|1). für welche scharparameter erhält man eine tangente an die kugel K? naja in die kugelgleichung einsetzen und dann? sind ja zwei unbekannte! detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2745 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 10:42: |
|
wenn ich es recht verstehe ist der Kugelmittelpunkt (0 | 0 | 0) also sind die 2 Geraden der Schar gesucht die von (0 | 0 | 0) den Abstand sqrt(21) haben Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 565 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 11:17: |
|
hmm also abstandsbestimmung von punkt zu geraden ist so eine sache...wie mache ich das mit HNF? kann man das auch durch einsetzen lösen? detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1242 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 12:05: |
|
des geht einfacher deine Gerade in die einzelnen Komponenten zerlegt: x = 11 + a*t y = 8 + 2*t z = t x^2 + y^2 + z^2 = 21 (11+a*t)^2 + (8+2*t)^2 + t^2 = 21 121 + 22a*t + a^2*t^2 + 64 + 32*t + 4*t^2 + t^2 = 21 das ergibt eine quadratische Gleichung mit Parameter a in t der Parameter a ist so zu wählen, daß eine Doppellsg. bzw. die Diskriminante 0 wird; fertig
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
|
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 567 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 12:16: |
|
ja, das habe ich versucht und bekomme da bis jetzt für die diskriminante: sqrt(((2a+32)/(2a²+10))^2-164) richtig? detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1243 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 12:53: |
|
rechnen wir weiter: (5+a^2)*t^2 + (32+22a)*t + 164 = 0 wir wenden die abc-Formel an, und setzen dabei nur die Diskriminante Null (32+22a)^2 - 4*(5+a^2)*164 = 0 4*(16+11a)^2 - 4*(5+a^2)*164 = 0 (16+11a)^2 - (5+a^2)*164 = 0 ... -43a^2 + 352a - 564 = 0 dies ergibt für a folgende 2 Werte: 94/43 und 6 mit pq-Formel angesetzt (5+a^2)*t^2 + (32+22a)*t + 164 = 0 t^2 + (32+22a)/(5+a^2)*t + 164/(5+a^2) = 0 ergibt das: ((32+22a)/(10+2a^2))^2 - 164/(5+a^2) = 0 (32+22a)^2/(10+2a^2) - 2*164 = 0 (32+22a)^2 - 4*164*(5+a^2) = 0 weiter siehe oben ich denk du hast 'nen kleinen Fehler nicht sqrt(((2a+32)/(2a²+10))^2-164) sondern sqrt(((22a+32)/(2a²+10))^2-164/(a²+5)) und das jetzt 0setzen } Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
|
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 568 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 13:24: |
|
ja, ok, habe das bei -164 vergessen, aber sonst war das ja schon korrekt! danke detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4956 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 14:43: |
|
Hi Walter;Hi Detlef @ Walter: Ich gratuliere Dir zu Deiner erfolgreichen Berechnung der a-Werte. Die Diskriminantenmethode ist bei dieser Sachlage wohl die allerbeste Methode. Ich führe - zu Übungszwecken - eine andere, die zweitbeste Methode vor. Die Gerade g hat den folgenden Vektor v als Richtungsvektor: v = {a;2;1} mit einem zu bestimmenden a-Wert . P(x/y/z) sei der laufende Punkt auf g. Der Ortsvektor p dieses Punktes lautet: p ={11 + t a; 8 +2 t; t} mit t als Parameter bezüglich P. Es soll diejenige Lage des Punktes P gefunden werden, für welche der Abstand OP minimal wird. Dies ist der Fall, wenn OP senkrecht zu g steht! Um diese Bedingung zu erfüllen, setzen wir das Skalarprodukt der Vektoren v und p null: 11 a + t a^2 + 16 + 4 t + t = 0 ; daraus t = ( - 11 a – 16) / N mit N = a^2 + 5. Damit erhalten wir die Koordinaten x,y,z von P im entscheidenden Punkt: x = (55 -16 a) / N ; y = (8 a^2 – 22 a +8) / N; z = (- 11 a -16) / N . Nun berechnen wir den Abstand OP (für diesen t-Wert) und setzen ihn gleich dem gegeben Wert sqrt (21), d.h. wir setzen den Punkt P auf die gegebene Kugel. Dies führt schließlich auf die folgende Gleichung für a: 1/N^2*[(55 -16 a)^2+(8 a^2–22a +8)^2+(-11a -16)^2] = 21 Die Lösungen sind : a1= 94/43, a2 = 6 , wie bei der ersten Methode. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 570 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 11:48: |
|
"wenn ich es recht verstehe ist der Kugelmittelpunkt (0 | 0 | 0) also sind die 2 Geraden der Schar gesucht die von (0 | 0 | 0) den Abstand sqrt(21) haben" wie mache ich das denn bei geraden mit HNF? bei ebenen ist der abstand kein problem aber bei geraden? detlef |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1752 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 16:05: |
|
Hi, für Geraden im IR3 gibt es keine HNF, weil sich ein Normalenvektor nicht sinnvoll definieren lässt. Um dort den Abstand zu berechnen brauchst du die Mittel, wie megamath sie angegeben hat! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4960 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 19:07: |
|
Hi Ferdi Besten Dank für Deine Wortmeldung! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4961 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 19:09: |
|
Hi Detlef Wie schon Ferdi formulierte: es gibt keine Hessesche Formel mit NF für die Berechnung des Abstandes Punkt – Gerade im R3; man möge diese Tatsache ins eigene Basiswissen aufnehmen. Zusätzlich merke man sich das übliche Verfahren mit dem Betrag eines gewissen Vektorprodukts im Zähler eines Bruches und dem Betrag des Richtungsvektors im Nenner desselben Bruches, so dass der Abstand d des Punktes P von der Geraden g als Quotient Q = Z / N erscheint. Die Daten sollen sogleich notiert werden. Gerade g: X = go + t * v ; go: Ortsvektor des Aufpunktes G v: ein Richtungsvektor von g P(x/y/z): derjenige Punkt ,dessen Abstand von g zu berechnen ist; p: Ortsvektor von P. Dann gilt: Z = Absolutbetrag des Vektorprodukts v x (go – p) N = Absolutbetrag des Vektors v Abstand d = Z/N. Es ist nicht schwierig, diese Formel zu verifizieren. Man denke daran, wie der Absolutbetrag eines Vektorprodukts mit Hilfe des Sinus des Zwischenwinkels der Vektoren berechnet wird. Vorschlag: Benütze Deine letzte Bemerkung über den Abstand der gesuchten Geraden vom Nullpunkt und berechne erneut die beiden Werte für a. Dies ergibt eine weitere Lösungsmethode Deiner Aufgabe! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4962 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 20:04: |
|
Hi detlef Ich führe nun die Berechnungen gemäß den Angaben in meinem letzten Beitrag durch. Die Daten mit den Bezeichnungen von neulich: Richtungsvektor v der Geraden : v = {a;2;1} G (11/8/0); go ={11;8;0} P(0/0/0); p = {0;0;0} go – p = {11;8;0} Vektorprodukt v x (go – p) = {8;11;8 a – 22} Z = sqrt [64 + 121 +(8 a -22)^2] N = sqrt(a^2+5) Die Bedingungsgleichung lautet: Z/N= sqrt(21); Durch Quadrieren entsteht die bekannte Gleichung 43 a^2 – 352 a + 564 = 0 mit den Lösungen a2 = 94/43 , a1 = 6. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 571 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 12:47: |
|
ok vielen dank und der abstand von einem punkt zu einer geraden kann in R2 mit HNF berechnet werden? detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4963 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 13:31: |
|
Hi Detlef Ja,das kannst Du so machen! MfG H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 572 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 13:51: |
|
ok und wie nennt sich die methode mit Abstand d = Z/N ? hat die einen namen oder eine spezielle grundlage? detlef |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4964 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 19:44: |
|
Hi detlef Ich führe nun die Berechnungen gemäß den Angaben in meinem letzten Beitrag durch. Die Daten mit den Bezeichnungen von neulich: Richtungsvektor v der Geraden : v = {a;2;1} G (11/8/0); go ={11;8;0} P(0/0/0); p = {0;0;0} go – p = {11;8;0} Vektorprodukt v x (go – p) = {8;11;8 a – 22} Z = sqrt [64 + 121 +(8 a -22)^2] N = sqrt(a^2+5) Die Bedingungsgleichung lautet: Z/N= sqrt(21); Durch Quadrieren entsteht die bekannte Gleichung 43 a^2 – 352 a + 564 = 0 mit den Lösungen a2 = 94/43 , a1 = 6. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Hi Detlef Stelle eine Handskizze her und meditiere danach eine Weile! Zeichne die Gerade g mit Aufpunkt G und Richtungsvektor v. Außerhalb g liegt der Punkt P, dessen Abstand d von g Dich brennend interessiert. Lege durch P (in Gedanken) die Normalebene zu g, welche g in F schneidet. Dann ist d die Länge der Stecke PF. Du kannst als Vektor den Vektor GF zum Vektor v deklarieren, indem der ursprüngliche Vektor v einfach gestreckt oder gestaucht wird, bis es passt. Die Strecke PF erscheint als Kathete im rechtwinkligen Dreieck PFG. Die Hypotenuse ist GP, Länge L. Der Gegenwinkel von PF sei der Winkel phi = Winkel PGF bei G. Nach der Lehre der Trigonometrie gilt: d = L * sin (phi) Szenenwechsel. Bilde das Vektorprodukt u = v x (go – p) der Vektoren v und go – p, wie ich es im meiner letzten Arbeit beschrieben habe. Der Betrag von v ist die Länge der Strecke GF, der Betrag des Vektors go – p ist die Länge der Strecke GP, also L. Der Zwischenwinkel dieser Vektoren ist phi. Nun solltest Du den Betrag dieses Vektors u bilden. Du solltest wissen (hoffentlich): der Betrag eines Vektorprodukts ist gleich dem Produkt, gebildet aus den beiden Beträgen der Vektoren und dem SINUS ihres Zwischenwinkels. Somit gilt: abs (u) = abs (v) * abs (go - p) * sin (phi) = abs(v) * L * sin (phi) Schön! auf der rechten Seite erscheint mit L * sin (phi) gerade d ! somit haben wir die Gleichung: abs (u) = abs(v) * d Die Auflösung nach d liefert: d = abs (u) / abs (v). Diese famose Methode trägt keinen besonderen Namen! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 578 Registriert: 01-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 19:51: |
|
oh vielen dank für die super erläuterung! detlef |