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geradenschar+kugel

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Körper » geradenschar+kugel « Zurück Vor »

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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 564
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 10:03:   Beitrag drucken

hallo,

gegeben ist die kugel K:x²=21 und die geradenschar g:x=(11|8|0)+t(a|2|1). für welche scharparameter erhält man eine tangente an die kugel K?

naja in die kugelgleichung einsetzen und dann? sind ja zwei unbekannte!

detlef
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2745
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 10:42:   Beitrag drucken

wenn ich es recht verstehe ist der Kugelmittelpunkt
(0 | 0 | 0) also sind die 2 Geraden der Schar gesucht die von (0 | 0 | 0) den Abstand sqrt(21)
haben
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 565
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 11:17:   Beitrag drucken

hmm also abstandsbestimmung von punkt zu geraden ist so eine sache...wie mache ich das mit HNF?

kann man das auch durch einsetzen lösen?

detlef
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1242
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 12:05:   Beitrag drucken

des geht einfacher

deine Gerade in die einzelnen Komponenten zerlegt:

x = 11 + a*t
y = 8 + 2*t
z = t

x^2 + y^2 + z^2 = 21

(11+a*t)^2 + (8+2*t)^2 + t^2 = 21
121 + 22a*t + a^2*t^2 + 64 + 32*t + 4*t^2 + t^2 = 21
das ergibt eine quadratische Gleichung mit Parameter a in t
der Parameter a ist so zu wählen, daß eine Doppellsg. bzw. die Diskriminante 0 wird;

fertig


Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 567
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 12:16:   Beitrag drucken

ja, das habe ich versucht und bekomme da bis jetzt für die diskriminante:

sqrt(((2a+32)/(2a²+10))^2-164)

richtig?

detlef
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1243
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 12:53:   Beitrag drucken

rechnen wir weiter:

(5+a^2)*t^2 + (32+22a)*t + 164 = 0

wir wenden die abc-Formel an, und setzen dabei nur die Diskriminante Null

(32+22a)^2 - 4*(5+a^2)*164 = 0
4*(16+11a)^2 - 4*(5+a^2)*164 = 0
(16+11a)^2 - (5+a^2)*164 = 0
...
-43a^2 + 352a - 564 = 0

dies ergibt für a folgende 2 Werte: 94/43 und 6


mit pq-Formel angesetzt

(5+a^2)*t^2 + (32+22a)*t + 164 = 0
t^2 + (32+22a)/(5+a^2)*t + 164/(5+a^2) = 0

ergibt das:

((32+22a)/(10+2a^2))^2 - 164/(5+a^2) = 0
(32+22a)^2/(10+2a^2) - 2*164 = 0
(32+22a)^2 - 4*164*(5+a^2) = 0
weiter siehe oben

ich denk du hast 'nen kleinen Fehler

nicht sqrt(((2a+32)/(2a²+10))^2-164)
sondern sqrt(((22a+32)/(2a²+10))^2-164/(a²+5))

und das jetzt 0setzen
}
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 568
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 13:24:   Beitrag drucken

ja, ok, habe das bei -164 vergessen, aber sonst war das ja schon korrekt!

danke detlef
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4956
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 02. April, 2005 - 14:43:   Beitrag drucken

Hi Walter;Hi Detlef

@ Walter: Ich gratuliere Dir zu Deiner erfolgreichen Berechnung der a-Werte.

Die Diskriminantenmethode ist bei dieser Sachlage wohl die allerbeste Methode.

Ich führe - zu Übungszwecken - eine andere, die zweitbeste Methode vor.


Die Gerade g hat den folgenden Vektor v als Richtungsvektor:
v = {a;2;1} mit einem zu bestimmenden a-Wert .
P(x/y/z) sei der laufende Punkt auf g.
Der Ortsvektor p dieses Punktes lautet:
p ={11 + t a; 8 +2 t; t} mit t als Parameter bezüglich P.

Es soll diejenige Lage des Punktes P gefunden werden,
für welche der Abstand OP minimal wird.
Dies ist der Fall, wenn OP senkrecht zu g steht!

Um diese Bedingung zu erfüllen, setzen wir das Skalarprodukt der Vektoren v und p null:
11 a + t a^2 + 16 + 4 t + t = 0 ; daraus
t = ( - 11 a – 16) / N mit N = a^2 + 5.

Damit erhalten wir die Koordinaten x,y,z von P im entscheidenden Punkt:
x = (55 -16 a) / N ; y = (8 a^2 – 22 a +8) / N;
z = (- 11 a -16) / N .


Nun berechnen wir den Abstand OP (für diesen t-Wert) und setzen ihn gleich dem gegeben Wert sqrt (21), d.h.
wir setzen den Punkt P auf die gegebene Kugel.

Dies führt schließlich auf die folgende Gleichung für a:

1/N^2*[(55 -16 a)^2+(8 a^2–22a +8)^2+(-11a -16)^2] = 21

Die Lösungen sind :
a1= 94/43, a2 = 6 , wie bei der ersten Methode.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 570
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 11:48:   Beitrag drucken

"wenn ich es recht verstehe ist der Kugelmittelpunkt
(0 | 0 | 0) also sind die 2 Geraden der Schar gesucht die von (0 | 0 | 0) den Abstand sqrt(21)
haben"

wie mache ich das denn bei geraden mit HNF? bei ebenen ist der abstand kein problem aber bei geraden?

detlef
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1752
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 16:05:   Beitrag drucken

Hi,

für Geraden im IR3 gibt es keine HNF, weil sich ein Normalenvektor nicht sinnvoll definieren lässt.

Um dort den Abstand zu berechnen brauchst du die Mittel, wie megamath sie angegeben hat!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4960
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 19:07:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Besten Dank für Deine Wortmeldung!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4961
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 19:09:   Beitrag drucken

Hi Detlef

Wie schon Ferdi formulierte:
es gibt keine Hessesche Formel mit NF für die Berechnung
des Abstandes Punkt – Gerade im R3; man möge diese Tatsache
ins eigene Basiswissen aufnehmen.
Zusätzlich merke man sich das übliche Verfahren mit dem Betrag
eines gewissen Vektorprodukts im Zähler eines Bruches und dem
Betrag des Richtungsvektors im Nenner desselben Bruches,
so dass der Abstand d des Punktes P von der Geraden g als Quotient
Q = Z / N erscheint.
Die Daten sollen sogleich notiert werden.

Gerade g: X = go + t * v ;
go: Ortsvektor des Aufpunktes G
v: ein Richtungsvektor von g

P(x/y/z): derjenige Punkt ,dessen Abstand von g zu berechnen ist;
p: Ortsvektor von P.

Dann gilt:
Z = Absolutbetrag des Vektorprodukts v x (go – p)
N = Absolutbetrag des Vektors v

Abstand d = Z/N.

Es ist nicht schwierig, diese Formel zu verifizieren.
Man denke daran, wie der Absolutbetrag eines Vektorprodukts
mit Hilfe des Sinus des Zwischenwinkels der Vektoren berechnet wird.

Vorschlag:
Benütze Deine letzte Bemerkung über den Abstand der gesuchten
Geraden vom Nullpunkt und berechne erneut die beiden Werte
für a.

Dies ergibt eine weitere Lösungsmethode Deiner Aufgabe!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4962
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. April, 2005 - 20:04:   Beitrag drucken

Hi detlef

Ich führe nun die Berechnungen gemäß den Angaben
in meinem letzten Beitrag durch.

Die Daten mit den Bezeichnungen von neulich:
Richtungsvektor v der Geraden :
v = {a;2;1}
G (11/8/0); go ={11;8;0}
P(0/0/0); p = {0;0;0}

go – p = {11;8;0}

Vektorprodukt
v x (go – p) = {8;11;8 a – 22}

Z = sqrt [64 + 121 +(8 a -22)^2]
N = sqrt(a^2+5)

Die Bedingungsgleichung lautet:
Z/N= sqrt(21);

Durch Quadrieren entsteht die bekannte Gleichung

43 a^2 – 352 a + 564 = 0 mit den Lösungen
a2 = 94/43 , a1 = 6.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Detlef01 (Detlef01)
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Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 12:47:   Beitrag drucken

ok vielen dank und der abstand von einem punkt zu einer geraden kann in R2 mit HNF berechnet werden?

detlef
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4963
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Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 13:31:   Beitrag drucken

Hi Detlef

Ja,das kannst Du so machen!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Detlef01 (Detlef01)
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Nummer des Beitrags: 572
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Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 13:51:   Beitrag drucken

ok und wie nennt sich die methode mit Abstand d = Z/N ? hat die einen namen oder eine spezielle grundlage?

detlef
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 4964
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 19:44:   Beitrag drucken

Hi detlef

Ich führe nun die Berechnungen gemäß den Angaben
in meinem letzten Beitrag durch.

Die Daten mit den Bezeichnungen von neulich:
Richtungsvektor v der Geraden :
v = {a;2;1}
G (11/8/0); go ={11;8;0}
P(0/0/0); p = {0;0;0}

go – p = {11;8;0}

Vektorprodukt
v x (go – p) = {8;11;8 a – 22}

Z = sqrt [64 + 121 +(8 a -22)^2]
N = sqrt(a^2+5)

Die Bedingungsgleichung lautet:
Z/N= sqrt(21);

Durch Quadrieren entsteht die bekannte Gleichung

43 a^2 – 352 a + 564 = 0 mit den Lösungen
a2 = 94/43 , a1 = 6.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


Hi Detlef

Stelle eine Handskizze her und meditiere danach eine Weile!

Zeichne die Gerade g mit Aufpunkt G und Richtungsvektor v.
Außerhalb g liegt der Punkt P, dessen Abstand d von g
Dich brennend interessiert.
Lege durch P (in Gedanken) die Normalebene zu g, welche g
in F schneidet.
Dann ist d die Länge der Stecke PF.
Du kannst als Vektor den Vektor GF zum Vektor v
deklarieren, indem der ursprüngliche Vektor v einfach gestreckt
oder gestaucht wird, bis es passt.

Die Strecke PF erscheint als Kathete im rechtwinkligen Dreieck
PFG.
Die Hypotenuse ist GP, Länge L.
Der Gegenwinkel von PF sei der Winkel phi = Winkel PGF bei G.
Nach der Lehre der Trigonometrie gilt:
d = L * sin (phi)

Szenenwechsel.
Bilde das Vektorprodukt u = v x (go – p) der Vektoren v und
go – p, wie ich es im meiner letzten Arbeit beschrieben habe.
Der Betrag von v ist die Länge der Strecke GF, der Betrag des Vektors
go – p ist die Länge der Strecke GP, also L.
Der Zwischenwinkel dieser Vektoren ist phi.
Nun solltest Du den Betrag dieses Vektors u bilden.
Du solltest wissen (hoffentlich):
der Betrag eines Vektorprodukts ist gleich
dem Produkt, gebildet aus den beiden Beträgen der Vektoren
und dem SINUS ihres Zwischenwinkels.
Somit gilt:
abs (u) = abs (v) * abs (go - p) * sin (phi) = abs(v) * L * sin (phi)
Schön!
auf der rechten Seite erscheint mit L * sin (phi) gerade d !
somit haben wir die Gleichung:
abs (u) = abs(v) * d

Die Auflösung nach d liefert:
d = abs (u) / abs (v).

Diese famose Methode trägt keinen besonderen Namen!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01

Nummer des Beitrags: 578
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2005 - 19:51:   Beitrag drucken

oh vielen dank für die super erläuterung!

detlef

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