| Autor |
Beitrag |
    
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 551
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 22:45: | 
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hallo,
wie kann man das herleiten, dass die stammfunktion von 1/(1-x²)^(-1/2) = arcsin x ist?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1225
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 23:03: |
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1/(1-x²)^(-1/2) = 1/sqrt(1-x^2)
subst. x = sin(t) => t = arcsin(x)
dx = cos(t) dt
1/sqrt(1-x^2) = 1/sqrt(1-sin^2(t)) = 1/sqrt(cos^2(t)) = 1/cos(t)
INT 1/sqrt(1-x^2) dx = INT 1/cos(t) cos(t) dt = INT dt = t + C = arcsin(x) + C
fertig.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1226
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. März, 2005 - 23:08: |
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Nachtrag: (um zu verdeutlichen, daß es nicht DIE Stammfkt. gibt, läßt sich hier sehr schön zeigen)
INT 1/sqrt(1-x^2) dx
subst. x = cos(t) => t = arccos(x)
dx = -sin(t) dt
1/sqrt(1-x^2) = 1/sqrt(1-cos^2(t)) = 1/sqrt(sin^2(t)) = 1/sin(t)
INT 1/sqrt(1-x^2) dx = INT 1/sin(t) * (-sin(t)) dt = INT -1 dt = -INT dt = -t + C = -arccos(x) + C
fertig.
anders gesagt: die Ableitungen von arcsin(x) und -arccos(x) sind ident;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 552
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. März, 2005 - 11:47: |
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und wieso ist das so? kann man das irgendwie begründen, außer rechnerisch?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1227
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. März, 2005 - 12:40: |
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arcsin(x) und -arccos(x) sowie +arccos(x) unterscheiden sich "nur" durch eine additive Konstante, und die fällt beim Ableiten weg;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 554
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. März, 2005 - 12:43: |
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ok, nur ich komme beim substituieren nie auf den substituenten sin oder cos ...
danke detlef |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1229
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. März, 2005 - 13:04: |
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ok, des sollt ein kleiners Bild sein 
(Beitrag nachträglich am 31., März. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 556
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. März, 2005 - 13:35: |
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ok danke! kenne die theoreme schon, aber halt die routine fehlt!
detlef |
